设函数f(x)=1/x*lnx(x>0且x不等于0）（1）求函数F（X）的单调区间；（2）已知2^1/x>x^a对任意x∈（0,1）成立,求实数a的取值范围

设函数f(x)=1/x*lnx(x>0且x不等于0）（1）求函数F（X）的单调区间；（2）已知2^1/x>x^a对任意x∈（0,1）成立,求实数a的取值范围
设函数f(x)=1/x*lnx(x>0且x不等于0）
（1）求函数F（X）的单调区间；（2）已知2^1/x>x^a对任意x∈（0,1）成立,求实数a的取值范围

设函数f(x)=1/x*lnx(x>0且x不等于0）（1）求函数F（X）的单调区间；（2）已知2^1/x>x^a对任意x∈（0,1）成立,求实数a的取值范围
1、
f'(x)=(1-lnx)/x^2
所以当x>e时f'(x)<0
当x0
所以f(x)的单调增区间(0,e]单调减区间为(e,+∞)
2、
因为2^1/x>x^a
所以1/x*ln2>alnx
即xlnx<(ln2)/a------（1）
令g(x)=xlnx
g'(x)=1+lnx
x∈(0,1/e)时,g'(x)<0
x∈(1/e,1)时,g'(x)>0
所以g(x)为凹函数
lim(x→0)g(x)=lim(x→0)(1/x)/(-1/x^2)=0(洛必达法则)
lim(x→1)g(x)=0
所以我们有g(x)<0
所以只需0≤(ln2)/a即可（见(1)式）
当a=0时,有2^1/x>1-----(2)
因为1/x>0
所以(2)式恒成立
解得a的取值范围是a≥0
哪里有问题你再问