已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+4在（-∞,0）上是增函数,在（0,1）上是减函数当x≥0时,曲线y=f(x)总在直线y=ax^2-4上方,求a的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 13:37:46
已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+4在（-∞,0）上是增函数,在（0,1）上是减函数当x≥0时,曲线y=f(x)总在直线y=ax^2-4上方,求a的取值范围
已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+4在（-∞,0）上是增函数,在（0,1）上是减函数
当x≥0时,曲线y=f(x)总在直线y=ax^2-4上方,求a的取值范围
已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+4在（-∞,0）上是增函数,在（0,1）上是减函数当x≥0时,曲线y=f(x)总在直线y=ax^2-4上方,求a的取值范围
这条题目应该有问题
∵函数f(x)=x³+ax²+bx+4在（-∞,0）上是增函数,在（0,1）上是减函数
∴x=0是f′(x)=0的根
∴x=0是3x²+2ax+b=0的根
∴b=0
∴f(x)=x³+ax²+4
∵当x≥0时,曲线y=f(x)总在直线y=ax²-4上方
∴当x≥0时,f(x)-（ax²-4）总>0
即x≥0时,x³+ax²+4-(ax²-4)>0
∵x³+8>0在x≥0时恒成立
∴a属于R
这一题要用导数做
y=ax^2-4不是直线吧
由题知x在（-∞，0）f′(x)=3x^2+2ax+b>0 (1)
x在（0，1） f′(x)=3x^2+2ax+b<0 (2)
x在〔0，+∞）x^3+ax^2+bx+4>ax^2-4 ， (3)
又因为f′(x)=3x^2+2ax+b=...
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y=ax^2-4不是直线吧
由题知x在（-∞，0）f′(x)=3x^2+2ax+b>0 (1)
x在（0，1） f′(x)=3x^2+2ax+b<0 (2)
x在〔0，+∞）x^3+ax^2+bx+4>ax^2-4 ， (3)
又因为f′(x)=3x^2+2ax+b=3（x-a/3)²-a²/3+b对称轴为x=-a/3
由（1）知a/3<0 由（2）知2a/3>1
所以-3/2
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（Ⅰ）∵f（x）=x3+ax2+bx+4，
∴f′（x）=3x2+2ax+b．
∵f（x）在（-∞，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数，
∴当x=0时，f（x）有极大值，即f′（x）=0，
∴b=0．
（Ⅱ）f′（x）=3x2+2ax=x（3x+2a），
∵f（x）在（-∞，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数，
∴-23a≥1，即a≤...
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（Ⅰ）∵f（x）=x3+ax2+bx+4，
∴f′（x）=3x2+2ax+b．
∵f（x）在（-∞，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数，
∴当x=0时，f（x）有极大值，即f′（x）=0，
∴b=0．
（Ⅱ）f′（x）=3x2+2ax=x（3x+2a），
∵f（x）在（-∞，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数，
∴-23a≥1，即a≤-32．
∵曲线y=f（x）在直线y=a2x-4的上方，
设g（x）=（x3+ax2+4）-（a2x-4），
∴在x∈[0，+∝）时，g（x）≥0恒成立．
∵g′（x）=3x2+2ax-a2=（3x-a）（x+a），
令g′（x）=0，两个根为-a，a3，且a3＜0＜-a，
x （0，-a） -a （-a，+∞）
g′（x） - 0 +
g（x） 单调递减 极小值 单调递增
∴当x=-a时，g（x）有最小值g（-a）．
令g（-a）=（-a3+a3+4）-（-a3-4）＞0，
∴a3＞-8，由a≤-32，
∴-2＜a≤-32．
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