已知四边形ABCD是等腰梯形,AB=3,DC=1,∠BAD=45°,DE⊥AB（如图①）,现将△ADE沿DE折起,【接上】使得AE⊥EB（如图②）,连结AC,AB,设M是AB的中点①求证：BC⊥平面AEC②判断直线EM是否平行平面ACD并说明
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/01 05:23:10
已知四边形ABCD是等腰梯形,AB=3,DC=1,∠BAD=45°,DE⊥AB（如图①）,现将△ADE沿DE折起,【接上】使得AE⊥EB（如图②）,连结AC,AB,设M是AB的中点①求证：BC⊥平面AEC②判断直线EM是否平行平面ACD并说明
已知四边形ABCD是等腰梯形,AB=3,DC=1,∠BAD=45°,DE⊥AB（如图①）,现将△ADE沿DE折起,
【接上】使得AE⊥EB（如图②）,连结AC,AB,设M是AB的中点
①求证：BC⊥平面AEC
②判断直线EM是否平行平面ACD并说明理由（反证法）
已知四边形ABCD是等腰梯形,AB=3,DC=1,∠BAD=45°,DE⊥AB（如图①）,现将△ADE沿DE折起,【接上】使得AE⊥EB（如图②）,连结AC,AB,设M是AB的中点①求证：BC⊥平面AEC②判断直线EM是否平行平面ACD并说明
证：（I）在图1中,过C作CF⊥EB,
∵DE⊥EB,∴四边形CDEF是矩形,
∵CD=1,∴EF=1.
∵四边形ABCD是等腰梯形,AB=3.
∴AE=BF=1.
∵∠BAD=45°,∴DE=CF=1.
连结CE,则CE=CB=
∵EB=2,∴∠BCE=90°.
则BC⊥CE.
在图2中,∵AE⊥EB,AE⊥ED,EB∩ED=E,
∴AE⊥平面BCDE.
∵BC平面BCDE,∴AE⊥BC.
∵AE∩CE=E,∴BC⊥平面AEC.
（II）∵AE⊥平面BCDE,CF平面BCDE.
∴AE⊥CF.
∴CF⊥平面ABE.
过C作CG⊥AB,连结FG,则∠CGF就是二面角C―AB―E的平面角.
又CF=1,AE=1,CE=BC=.
∴AC=
在Rt△ACB中,AB=
又AC・BC=AB・CG,∴CG=
∴FG=
∴二面角C―AB―E的正切值为
（III）用反证法.
假设EM‖平面ACD.
∵EB‖CD,CD平面ACD,EB平面ACD,
∴EB‖平面ACD.∵EB∩EM=E,∴面AEB‖面ACD
而A∈平面AEB,A∈平面ACD,
与平面AEB//平面ACD矛盾.
∵假设不成立.
∴EM与平面ACD不平行.