如图,已知四边形ABCD中,AB=DC,AC=BD,AD≠BC,对角线AC交BD于O求证:四边形ABCD是等腰梯形
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/21 22:49:46
如图,已知四边形ABCD中,AB=DC,AC=BD,AD≠BC,对角线AC交BD于O求证:四边形ABCD是等腰梯形
如图,已知四边形ABCD中,AB=DC,AC=BD,AD≠BC,对角线AC交BD于O求证:四边形ABCD是等腰梯形
如图,已知四边形ABCD中,AB=DC,AC=BD,AD≠BC,对角线AC交BD于O求证:四边形ABCD是等腰梯形
∵AB=DC AC=BD BC=BC
∴△ABC≌△BCD
∴∠ACB=∠DBC
∴△BOC是等腰三角形
∴OB=OC
∴OA=OD
∴∠CAD=∠BDA
∵∠AOD=∠BOC
∴∠CAD=∠BDA=∠ACB=∠DBC
即∠ CAD=∠ACB
∴AD∥BC
∴四边形ABCD是等腰梯形
三角形ABD和三角形ACD中
AB=CD AC=BD AD=AD
所以三角形ABD和三角形ACD全等
所以角OAD=角ODA
所以OA=OD
因为AC=DB
所以BO=OD
所以角OBC=角OCB
因为角AOD=角BOC（对顶角相等）
所以角OBC=角OCB=角OAD=角ODA
因此，AD平行于CD
又因...
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三角形ABD和三角形ACD中
AB=CD AC=BD AD=AD
所以三角形ABD和三角形ACD全等
所以角OAD=角ODA
所以OA=OD
因为AC=DB
所以BO=OD
所以角OBC=角OCB
因为角AOD=角BOC（对顶角相等）
所以角OBC=角OCB=角OAD=角ODA
因此，AD平行于CD
又因为AD不等于BC AB=CD
四边形ABCD是等腰梯形
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证明：∵AB=DC,AC=BD，BC=CB，
∴△ABC全等于△DCB，
∴∠ACB=∠DBC。
同理可得，∠BDC=∠CAD。
而∠AOD=∠COB，
∴∠ACB=∠DBC=（180°-∠COB)/2=（180°-∠AOD）/2=∠BDC=∠CAD。
∴AD//BC。
又∵AD≠BC，AB=CD，
∴四边形ABCD是等腰梯形。