已知直角三角形的边长为整数,周长为60,求它的外接圆的面积
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 00:38:57
已知直角三角形的边长为整数,周长为60,求它的外接圆的面积
已知直角三角形的边长为整数,周长为60,求它的外接圆的面积
已知直角三角形的边长为整数,周长为60,求它的外接圆的面积
考点：三角形边角关系；勾股定理；三角形的外接圆与外心．
分析：设直角三角形的三边长分别为a,b,c（a≤b＜c）,则a+b+c=60,显然,三角形的外接圆的直径即为斜边长c,下面先求c的值；由a≤b＜c及a+b+c=60得60=a+b+c＜3c,所以c＞20．由a+b＞c及a+b+c=60得60=a+b+c＞2c,所以c＜30．即可求得c的取值范围,然后由勾股定理可得ab-60（a+b）+1800=0,然后分析求得a,b的值,继而求得它的外接圆的面积．
设直角三角形的三边长分别为a,b,c（c是斜边）,
则a+b+c=60．
∵a≤b＜c,a+b+c=60,
∴60=a+b+c＜3c,
∴c＞20．
∵a+b＞c,a+b+c=60,
∴60=a+b+c＞2c,
∴c＜30．
又∵c为整数,
∴21≤c≤29．
根据勾股定理可得：a2+b2=c2,把c=60-a-b代入,
化简得：ab-60（a+b）+1800=0,
∴（60-a）（60-b）=1800=23×32×52,
∵a,b均为整数且a≤b,
∴只可能是
60-a=23×5
60-b=32×5
或
60-a=2×52
60-b=22×32
解得
a=20
b=15
或
a=10
b=24.
,
∵三角形的外接圆的直径即为斜边长c,
∴当a=20,b=15时,c=25,三角形的外接圆的面积为
625
4
π；
当a=10,b=24时,c=26,三角形的外接圆的面积为169π．
点评：此题考查了直角三角形的性质、直角三角形外接圆的性质以及不等式组的应用．此题难度较大,解题的关键是掌握三角形的外接圆的直径即为斜边长c,掌握不等式组的应用．
该题主要考查勾股定理和特殊勾股数，
由3²+4²=5²和5²+12²=13² （其他勾股数不符题意）可得
三边分别是15、20、25或10、24、26，
∴外接圆半径是25/2或13，
面积为625π/4或169π
好多答案呢，比如说{15,20,25}，{10,24,26} 这就有两个圆面积25^2Pi，26^2Pi