在三角形ABC中已知CD垂直AB于D,且有AC^2=AD*AB求证三角形ABC为直角三角形用勾古定律
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/22 13:02:27
在三角形ABC中已知CD垂直AB于D,且有AC^2=AD*AB求证三角形ABC为直角三角形用勾古定律
在三角形ABC中已知CD垂直AB于D,且有AC^2=AD*AB求证三角形ABC为直角三角形
用勾古定律
在三角形ABC中已知CD垂直AB于D,且有AC^2=AD*AB求证三角形ABC为直角三角形用勾古定律
证明：
因为CD⊥AB,AC^2＝AD*AB
所以CD^2＝AC^2－AD^2
＝AD*AB－AD^2
＝AD*(AB－AD)＝AD*BD
所以
AC^2＋BC^2
＝AD^2＋CD^2＋＋CD^2＋BD^2
＝AD^2＋2CD^2＋BD^2
＝AD^2＋2*AD*BD＋BD^2
＝(AD＋BD)^2
＝AB^2
根据勾股定理的逆定理知
ΔABC是直角三角形
答：由题意可得：AC/AD=AB/AC
又∠DAC=∠CAB
则三角形DAC与三角形CAB相似
所以，对应角∠ADC=∠ACB=90°
所以三角形ABC为直角三角形。
证明：
∵CD⊥AB
∴ΔCDA，ΔCDB都是直角三角形
由勾股定理得
AC²=AD²+CD²，CD²+BD²=BC²
AB=AD+BD
于是有
AB²
=(AD+BD)²
=AD²+2AD×BD+BD²
全部展开
证明：
∵CD⊥AB
∴ΔCDA，ΔCDB都是直角三角形
由勾股定理得
AC²=AD²+CD²，CD²+BD²=BC²
AB=AD+BD
于是有
AB²
=(AD+BD)²
=AD²+2AD×BD+BD²
=AD²+2AD×(AB-AD)+BD²
=AD²+2AD×AB-2AD²+BD²
=2AD×AB-AD²+BD²
=2AC²-AD²+BD²
=AC²+(AC²-AD²)+BD²
=AC²+CD²+BD²
=AC²+BC²
在ΔABC中，AB²=AC²+BC²
由勾股定理的逆定理知，ΔABC是直角三角形
收起
AC^2=AD*AB 得AC/AB=AD/AC 所以ACD相似于ABC
有角ADC=90°
角ADC=角C= 90°
得证