1、如图,已知△ABC,以BC为直径,O为圆心的半圆交AC于点F,点E为 CF^的中点,连接BE交AC于点M,AD为△ABC的角平分线,且AD⊥BE,垂足为点H．（1）求证：AB是半圆O的切线；（2）若AB=3,BC=4,求BE的长．
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 17:13:05
1、如图,已知△ABC,以BC为直径,O为圆心的半圆交AC于点F,点E为 CF^的中点,连接BE交AC于点M,AD为△ABC的角平分线,且AD⊥BE,垂足为点H．（1）求证：AB是半圆O的切线；（2）若AB=3,BC=4,求BE的长．
1、如图,已知△ABC,以BC为直径,O为圆心的半圆交AC于点F,点E为 CF^的中点,连接BE交AC于点M,AD为△ABC的角平分线,且AD⊥BE,垂足为点H．
（1）求证：AB是半圆O的切线；
（2）若AB=3,BC=4,求BE的长．
1、如图,已知△ABC,以BC为直径,O为圆心的半圆交AC于点F,点E为 CF^的中点,连接BE交AC于点M,AD为△ABC的角平分线,且AD⊥BE,垂足为点H．（1）求证：AB是半圆O的切线；（2）若AB=3,BC=4,求BE的长．
1、证明：连接BF
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD
∵AD⊥BE
∴AB＝AM
∴∠ABE＝∠AMB
∵AD⊥BE
∴∠CAD+∠AMB＝90,∠BAD+∠ABE＝90
∵BC为直径,F为圆上一点
∴∠BFC＝90
∴∠EBF+∠AMB＝90
∴∠EBF＝∠CAD
∴∠EFB＝∠BAD
∵E为弧CF的中点
∴弧CE＝弧EF
∴∠CBE＝∠EFB
∴∠CBE＝∠BAD
∴∠CBE+∠ABE＝90
∴AB是圆O的切线
连接CE,过点M作MN⊥BC
∵AB＝3,BC＝4
∴AC＝√（AB²+BC²）＝√（9+16）＝5
∵AM＝AB
∴AM＝3
∴CM＝AC-AM＝5-3＝2
∵MN⊥BC
∴MN∥AB
∴CM/AC＝MN/AB,CN/BC＝CM/AC
∴2/5＝MN/3,CN/4＝2/5
∴MN＝6/5,CN＝8/5
∴BN＝BC-CN＝4-8/5＝12/5
∴BM＝√（BN²+MN²）＝√（144/25+36/25）＝6√5/5
∵E为圆上一点
∴BE⊥CE
∴△AMN相似于△ACE
∴BE/BC＝BN/BM
∴BE/4＝（12/5）/（6√5/5）
∴BE＝8√5/25