已知f(x)=x^3+bx^2+cx+d在(负无穷到0的开区间)上是增函数,在(0到2的闭区间上)是减函数,且方程f(x)=0有3个根,它们分别是A、2、B(1)求c值 (我求出来了c=0)(2)求证:f(1)大于或等于2(3)求(A-B)
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/09/08 09:32:32
已知f(x)=x^3+bx^2+cx+d在(负无穷到0的开区间)上是增函数,在(0到2的闭区间上)是减函数,且方程f(x)=0有3个根,它们分别是A、2、B(1)求c值 (我求出来了c=0)(2)求证:f(1)大于或等于2(3)求(A-B)
已知f(x)=x^3+bx^2+cx+d在(负无穷到0的开区间)上是增函数,在(0到2的闭区间上)是减函数,且方程f(x)=0有3个根,它们分别是A、2、B
(1)求c值 (我求出来了c=0)
(2)求证:f(1)大于或等于2
(3)求(A-B)的绝对值的范围.
已知f(x)=x^3+bx^2+cx+d在(负无穷到0的开区间)上是增函数,在(0到2的闭区间上)是减函数,且方程f(x)=0有3个根,它们分别是A、2、B(1)求c值 (我求出来了c=0)(2)求证:f(1)大于或等于2(3)求(A-B)
首先介绍一个知识,即三次方程的韦达定理(实际上n次方程都有,但这里只用到了3次)
设三次方程ax³+bx²+cx+d=0 三个根为x1,x2,x3
有x1+x2+x3=-b/a
x1x2x3=-d/a (如果想知道推导,发消息)
然后下面开始解第二,第三问.(为书写方便,f(x)导数写成g(x))
(2)由(1)得c=0,所以g(x)=3x²+2bx=x(3x+2b)
∵f(x)在(0,2]是减函数
∴g(2)≤0 ∴b≤-3
又∵f(2)=8+4b+d=0 得d=-8-4b
∴f(1)=-3b-7
因为b≤-3,所以f(1)≥2
(3)(A-B)²=A²-2AB+B²=(A+B)²-4AB①
由韦达定理得 A+B+2=-b② 2AB=-d=8+4b③
由①②③得 (A-B)²=b²-4b-12(b≤-3)
由二次函数性质可求得(A-B)²∈[9,+∞)
∴求(A-B)的绝对值的范围是[3,+∞)