如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过C点任作一直线PQ,过A作AM⊥PQ于M,过B作BN⊥PQ于N,（1）如图1,当直线MN在△ABC的外部时,求证：MN=AM+BN；

如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过C点任作一直线PQ,过A作AM⊥PQ于M,过B作BN⊥PQ于N,（1）如图1,当直线MN在△ABC的外部时,求证：MN=AM+BN；
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过C点任作一直线PQ,过A作AM⊥PQ于M,过B作BN⊥PQ于N,
（1）如图1,当直线MN在△ABC的外部时,求证：MN=AM+BN；

如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过C点任作一直线PQ,过A作AM⊥PQ于M,过B作BN⊥PQ于N,（1）如图1,当直线MN在△ABC的外部时,求证：MN=AM+BN；
∵AM⊥PQ,BN⊥PQ
∴△ACM和△CBN是直角三角形
∵∠ACB=90°
∴∠BCN+∠ACM=180°-∠ACB=90°
∵∠ACM+∠MAC=90°
∴∠BCN=∠MAC
∵AC=BC
∴RT△ACM≌RT△CBN(AAS)
∴AM=CN
CM=BN
∴MN=CM+CN=AM+BN

证明：
∵AM⊥PQ BN⊥PQ
∴∠MAC+∠MCA=90°
∠BCN+∠CBN=90°
又∠ACB=90°
∴∠MCA+∠BCN=90°
∴∠MCA=∠NBC
在Rt△MAC和Rt△NCB中
AC=CB ∠MCA=∠NBC
∴△MAC全等于△NCB(AAS)
∴MC=BN CN=AM
又MN=MC+CN
∴MN=AM+BN