如图直三棱柱ABC–A1B1C1中,AC=BC=1/2.D是楞AA1的终点,DC1垂直于BD.证明DC1垂直于BC,.求二面角A1–BD–C1的大小. 平面BCD分此棱柱为两部份,求这两部分体积之比.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 19:04:01
如图直三棱柱ABC–A1B1C1中,AC=BC=1/2.D是楞AA1的终点,DC1垂直于BD.证明DC1垂直于BC,.求二面角A1–BD–C1的大小. 平面BCD分此棱柱为两部份,求这两部分体积之比.
如图直三棱柱ABC–A1B1C1中,AC=BC=1/2.D是楞AA1的终点,DC1垂直于BD.证明DC1垂直于BC,.求二面角A1–BD–C1的大小. 平面BCD分此棱柱为两部份,求这两部分体积之比.
如图直三棱柱ABC–A1B1C1中,AC=BC=1/2.D是楞AA1的终点,DC1垂直于BD.证明DC1垂直于BC,.求二面角A1–BD–C1的大小. 平面BCD分此棱柱为两部份,求这两部分体积之比.
分析：
（1）证明DC1⊥BC,只需证明DC1⊥面BCD,即证明DC1⊥DC,DC1⊥BD；
（2）证明BC⊥面ACC1A1,可得BC⊥AC取A1B1的中点O,过点O作OH⊥BD于点H,连接C1O,C1H,可得点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角,由此可求二面角的大小.
（1）证明：在Rt△DAC中,AD=AC,∴∠ADC=45°
同理：∠A1DC1=45°,∴∠CDC1=90°
∴DC1⊥DC,DC1⊥BD
∵DC∩BD=D
∴DC1⊥面BCD
∵BC?面BCD
∴DC1⊥BC
∵DC1⊥BC,CC1⊥BC,DC1∩CC1=C1,∴BC⊥面ACC1A1,
∵AC?面ACC1A1,∴BC⊥AC
取A1B1的中点O,过点O作OH⊥BD于点H,连接C1O,OH
∵A1C1=B1C1,∴C1O⊥A1B1,
∵面A1B1C1⊥面A1BD,面A1B1C1∩面A1BD=A1B1,
∴C1O⊥面A1BD
∵OH⊥BD,∴C1H⊥BD,∴点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角
设AC=a,则,
∴sin∠C1DO=
∴∠C1DO=30°
即二面角A1﹣BD﹣C1的大小为30°