已知函数f(x)=sinX^2+acosx+5a/8-3/2,a属于R（1)当a=1时,求函数最大值.（2）对于区间【0,π/2】任意x,f(x)≤1都成立,求a取值范围.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 22:55:01
已知函数f(x)=sinX^2+acosx+5a/8-3/2,a属于R（1)当a=1时,求函数最大值.（2）对于区间【0,π/2】任意x,f(x)≤1都成立,求a取值范围.
已知函数f(x)=sinX^2+acosx+5a/8-3/2,a属于R（1)当a=1时,求函数最大值.（2）对于区间【0,π/2】任意x,
f(x)≤1都成立,求a取值范围.
已知函数f(x)=sinX^2+acosx+5a/8-3/2,a属于R（1)当a=1时,求函数最大值.（2）对于区间【0,π/2】任意x,f(x)≤1都成立,求a取值范围.
（1）当a=1时
f（x）=sinX^2+cosx-7/8
=1-cosx^2+cosx-7/8
=-cosx^2+cosx+1/8
则f（x）是关于cosx的一个二次函数
-1＜0,-1osx≤1
∴f（x）在（-∞,1/2）单增
∴当cosx=1/2时
f（x）max=-（1/2）^2+1/2+1/8=3/8
（2）由1问可知f（x）=-cosx^2+acosx+5a/8+1/3
在区间【0,π/2】有 0≤cosx≤1
要使f（x）≤1恒成立
则f(x)max≤1即可
此时f（x）在(-∞,a/2）单增
∴f（a/2）≤1即可
讨论a/2与1的大小
解除a的取值即可
以下计算略
(1)当a＝1时，f(x)＝-(cosx-1/2)^2+3/8
∵cosx∈[-1,1] ∴f(x)max＝3/8
(2)f(x)＝-(cosx)^2+acosx+5a/8-1/2
f(x)≤1 即-(cosx)^2+acosx+5a/8-3/2≤0
设t＝cosx 则t∈[0,1]
g(t)＝-t^2+at5a/8-3/2(0≤t≤1)
f(x)≤...
全部展开
(1)当a＝1时，f(x)＝-(cosx-1/2)^2+3/8
∵cosx∈[-1,1] ∴f(x)max＝3/8
(2)f(x)＝-(cosx)^2+acosx+5a/8-1/2
f(x)≤1 即-(cosx)^2+acosx+5a/8-3/2≤0
设t＝cosx 则t∈[0,1]
g(t)＝-t^2+at5a/8-3/2(0≤t≤1)
f(x)≤1在x∈[0,π/2]上恒成立，即g(t)≤0在t∈[0,1]上恒成立
∵g(t)函数图像开口向上
其对称轴为x＝a/2
①当a/2≤0 即a≤0，g(t)在t∈[0,1]上是减函数，欲使g(t)≤0在t∈[0,1]上恒成立，须g(t)max＝g(0)≤0 即a≤12/5 故a≤0
②当0＜a/2＜1 即0＜a＜2时
g(t)在t∈[0,a/2]是增函数、在t∈[a/2,1]是减函数，欲使g(t)≤0在t∈[0,1]上恒成立，须g(t)max＝g(a/2)≤0 即-4≤a≤3/2 故0＜a≤3/2
③当a/2≥1 即a≥2时，g(t)在t∈[a/2,1]是增函数，欲使g(t)≤0在t∈[0,1]上恒成立，须g(t)max＝g(1)≤0即a≤20/13 故a∈空集
综上所述，a∈(-∞,3/2]
注：仅供参考！
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