已知函数f(x)=inx-(1/2)ax^2+bx (a>0)且f'(1)=0 证是否存在”中值相依切线”易求b=a-1中值相依切线的定义是：在函数图像上有两点A(X1,Y1)B(X2,Y2) X1
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 01:38:45
已知函数f(x)=inx-(1/2)ax^2+bx (a>0)且f'(1)=0 证是否存在”中值相依切线”易求b=a-1中值相依切线的定义是：在函数图像上有两点A(X1,Y1)B(X2,Y2) X1
已知函数f(x)=inx-(1/2)ax^2+bx (a>0)且f'(1)=0 证是否存在”中值相依切线”
易求b=a-1
中值相依切线的定义是：在函数图像上有两点A(X1,Y1)B(X2,Y2) X1
已知函数f(x)=inx-(1/2)ax^2+bx (a>0)且f'(1)=0 证是否存在”中值相依切线”易求b=a-1中值相依切线的定义是：在函数图像上有两点A(X1,Y1)B(X2,Y2) X1
不存在.反证法
证明：
不妨假设存在中值相依切线则有
f'(x0)=[f(x2)-f(x1)]/(x2-x1),0
f(x2)=lnx2-(1/2)ax2²+bx2.(1)
f(x1)=lnx1-(1/2)ax1²+bx1.(2)
x0=(x2+x1)/2.(3)
f'(x0)=1/x0-ax0+b.(4)
代入有
[lnx2-(1/2)ax2²+bx2]-[lnx1-(1/2)ax1²+bx1]=(x2-x1)(1/x0-ax0+b)
整理恰好消去a,b得
ln(x2/x1)-2(x2-x1)/(x2+x1)=0
ln(x2/x1)-2[(x2/x1)-1]/[(x2/x1)+1]=0.(5)
我们令x2/x1=t>1,并记
g(t)=lnt-2(t-1)/(t+1),t>1
求导易得
g'(t)=(t-1)²/[t(t+1)²]>0,t>1
则g(t)在t>1上单调增加
又g(t)可在t=1处连续则
g(t)>g(1)=0,t>1
即lnt-2(t-1)/(t+1)>0
亦即ln(x2/x1)-2[(x2/x1)-1]/[(x2/x1)+1]>0.(6)
显然(5),(6)两式相矛盾
因此f'(x0)=[f(x2)-f(x1)]/(x2-x1),0
证毕.
1楼答案有错，x0=(x1+x2)/2.。所以K1=2/(x2-x1)-1/2*a(x2+x1)+b，这部有错。应该是x2+x1不是x2-x1，我也正在做这题，同求答案。
存在。
先求出df/dx，得到f'(x)=1/x-ax+b
我们假设A.B点的坐标分别为A(X1,Y1)B(X2,Y2) X1
现在我们再看M点，即M(X0,Y0)点的f(x)的切线斜率K1是多少。我们知道
K1=f'(x0)=1/x0-ax0+b,...
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存在。
先求出df/dx，得到f'(x)=1/x-ax+b
我们假设A.B点的坐标分别为A(X1,Y1)B(X2,Y2) X1
现在我们再看M点，即M(X0,Y0)点的f(x)的切线斜率K1是多少。我们知道
K1=f'(x0)=1/x0-ax0+b,而x0=(x1+x2)/2.。所以K1=2/(x2-x1)-1/2*a(x2+x1)+b
所以只要lnx2-lnx1=2，即ln(x2/x1)=2.。所以有x2+x1=e^2.。也就是只要满足这个等式，就能找出”中值相依切线”。
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