求定积分x区间为π到0 ∫(x(sinx)^6)dx

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/08 05:50:09
求定积分x区间为π到0∫(x(sinx)^6)dx求定积分x区间为π到0∫(x(sinx)^6)dx求定积分x区间为π到0∫(x(sinx)^6)dx记A=∫(0到π)x(sinx)^6dx,换元x=

求定积分x区间为π到0 ∫(x(sinx)^6)dx
求定积分x区间为π到0 ∫(x(sinx)^6)dx

求定积分x区间为π到0 ∫(x(sinx)^6)dx
记A=∫(0到π) x(sinx)^6dx,换元x=π-t,则A=∫(0到π) π(sint)^6dt-∫(0到π) t(sint)^6dt,所以A=π/2×∫(0到π) (sinx)^6dx.
(sinx)^6以π为周期,且是偶函数,所以∫(0到π) (sinx)^6dx=∫(-π/2到π/2) (sinx)^6dx=2∫(0到π/2) (sinx)^6dx,套用定积分公式,∫(0到π) (sinx)^6dx=2×5/6×3/4×1/2×π/2
所以,原积分A=π/2×2×5/6×3/4×1/2×π/2=5π^2/32