一道奥数题,我不懂,谁帮我讲讲?题目： 已知三个数89,12,3,进行如下运算:取其中任意两个数,求其和,再除以根号2,同时求其差,再除以根号2.能否经过若干次上述运算,得到3个数90,14,10?请证明.尽
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/09 10:21:12
一道奥数题,我不懂,谁帮我讲讲?题目： 已知三个数89,12,3,进行如下运算:取其中任意两个数,求其和,再除以根号2,同时求其差,再除以根号2.能否经过若干次上述运算,得到3个数90,14,10?请证明.尽
一道奥数题,我不懂,谁帮我讲讲?
题目：
已知三个数89,12,3,进行如下运算:取其中任意两个数,求其和,再除以根号2,同时求其差,再除以根号2.能否经过若干次上述运算,得到3个数90,14,10?请证明.尽量讲详细些
一道奥数题,我不懂,谁帮我讲讲?题目： 已知三个数89,12,3,进行如下运算:取其中任意两个数,求其和,再除以根号2,同时求其差,再除以根号2.能否经过若干次上述运算,得到3个数90,14,10?请证明.尽
设a,b是其中任意两个数,经过一次运算后得到了c,d.很容易证明他们的平方和相等,即a^2+b^2=c^2+d^2.
所以三个数不管经过多少次运算,他们的平方和应该与得到的新的三个数平方和相等.
但是89,12,3的平方和个位数是4,而90,14,10的平方和个位数是6.显然不相等.
所以不能得到.
不能因为这三个数有两个奇数+ -除以2也是奇数
设三数为a,b,c,则经过一次运算得到三个数是(a+b)/(√2),(a-b)/(√2),c
因为((a+b)/(√2))^2+((a-b)/(√2))^2+c^2
=(a^2+2ab+b^2)/2+(a^2-2ab+b^2)/2+c^2
=a^2+b^2+c^2
所以三数经一次运算后始终保持其平方和不变
但是89^2+12^2+3^2=8074 ...
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设三数为a,b,c,则经过一次运算得到三个数是(a+b)/(√2),(a-b)/(√2),c
因为((a+b)/(√2))^2+((a-b)/(√2))^2+c^2
=(a^2+2ab+b^2)/2+(a^2-2ab+b^2)/2+c^2
=a^2+b^2+c^2
所以三数经一次运算后始终保持其平方和不变
但是89^2+12^2+3^2=8074
90^2+14^2+10^2=8396＞8074
所以不能。
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