高中数列问题（三角个数）如下图每个小三角形边长为1第n个图中最大三角形边长为n则三角形个数an的递推公式是?（三角形个数包括大小所有三角形,如图一有a1=1；图二a2=5；图三a3=13）
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 05:19:02
高中数列问题（三角个数）如下图每个小三角形边长为1第n个图中最大三角形边长为n则三角形个数an的递推公式是?（三角形个数包括大小所有三角形,如图一有a1=1；图二a2=5；图三a3=13）
高中数列问题（三角个数）
如下图
每个小三角形边长为1
第n个图中最大三角形边长为n
则三角形个数an的递推公式是?
（三角形个数包括大小所有三角形,如图一有a1=1；图二a2=5；图三a3=13）
高中数列问题（三角个数）如下图每个小三角形边长为1第n个图中最大三角形边长为n则三角形个数an的递推公式是?（三角形个数包括大小所有三角形,如图一有a1=1；图二a2=5；图三a3=13）
a1=1(边长为1的三角形个数)
a2=（1+3）（边长为1的三角形）+1（边长为2的三角形）=5
a3=（1+3+5）（边长为1的三角形）+（1+2）（边长为2的三角形）+1（边长为3的三角形）=13
a4=（1+3+5+7）（边长为1的三角形）+（1+2+3）（边长为2的三角形）+（1+2）（边长为2的三角形）+1（边长为4的三角形）=26
…………
观察规律可得
an=a（n-1）+（2n-1）+（n-1）+（n-2）+（n-3）+……+2+1
整理得
an=a（n-1）+（n^2+3n-2）/2
注：其中n^2表示n的平方
检验,
a2=a1+8/2=a1+4,与题中数据相符
a3=a2+16/2=a2+8与题中数据相符
n=1,an=1
n=2,an=5=1+4=1+4×1
n=3,an=13=1+4+8=1+4×3
n=4,an=29=1+4+8+16=1+4×7
n=5,an=61=1+4+8+16+32=1+4×15
n=6,an=125=1+4+8+16+32+64=1+4×31
。。。。。。
先观察1,3,7,15,31,...的规律
后项...
全部展开
n=1,an=1
n=2,an=5=1+4=1+4×1
n=3,an=13=1+4+8=1+4×3
n=4,an=29=1+4+8+16=1+4×7
n=5,an=61=1+4+8+16+32=1+4×15
n=6,an=125=1+4+8+16+32+64=1+4×31
。。。。。。
先观察1,3,7,15,31,...的规律
后项减前项得2，4，8，16，...可以看出是个等比数列
所以得到1,3,7,15,31,...的通项为2^n－1
所以三角形个数递推公式an=1+4×[2^(n-1)-1]=2^(n+1)-3
收起
a1=1
a2=4
a3=9
...
an=n^2