设f（x）是定义在（0,正无穷）上的函数,且满足关系f（x）＝f（1/x）lgx＋1（1）求f（x）的解析式 （2）当x取何值时，f（x）有最大值和最小值？各是多少？
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 02:36:03
设f（x）是定义在（0,正无穷）上的函数,且满足关系f（x）＝f（1/x）lgx＋1（1）求f（x）的解析式 （2）当x取何值时，f（x）有最大值和最小值？各是多少？
设f（x）是定义在（0,正无穷）上的函数,且满足关系f（x）＝f（1/x）lgx＋1
（1）求f（x）的解析式
（2）当x取何值时，f（x）有最大值和最小值？各是多少？
设f（x）是定义在（0,正无穷）上的函数,且满足关系f（x）＝f（1/x）lgx＋1（1）求f（x）的解析式 （2）当x取何值时，f（x）有最大值和最小值？各是多少？
令x=1/x
则f(1/x)=f(x)lg(1/x)+1
代入f(x)=f(1/x )*lgx+1
=[f(x)lg(1/x)+1]*lgx+1
f(x)=f(x)lg(1/x)lgx+lgx+1
lgx*lg(1/x)
=lgx*(-lgx)
=-(lgx)^2
所以,f(x)=(lgx+1)/[1+(lgx)^2]
设y=(lgx+1)/(1+(lgx)^2)
y(1+(lgx)^2)=lgx+1
y*(lgx)^2-lgx+y-1=0
判别式=1-4y(y-1)>=0
1-4y^2+4y>=0
4y^2-4y
(1)f（x）＝f（1/x）lgx＋1
∴f(1/x)=f(x)lg(1/x)+1
代入得f(x)=[f(x)lg(1/x)+1]lgx+1
解得f(x)=(lgx+1)/(lg²x+1)
(2)f(x)=(lgx+1)/(lg²x+1)
令f(x)=y得ylg²x-lgx+y-1=0
△=1-4y(y-1)>=0
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(1)f（x）＝f（1/x）lgx＋1
∴f(1/x)=f(x)lg(1/x)+1
代入得f(x)=[f(x)lg(1/x)+1]lgx+1
解得f(x)=(lgx+1)/(lg²x+1)
(2)f(x)=(lgx+1)/(lg²x+1)
令f(x)=y得ylg²x-lgx+y-1=0
△=1-4y(y-1)>=0
解得（1-√2）/2<=y<=(1+√2)/2
即当f(x)有最大值(1+√2)/2时，lgx=√2-1即x=10的√2-1次方
当f(x)有最小值(1-√2)/2时，lgx=-√2-1 即x=10的-√2-1次方
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