P是三角形ABC所在平面外一点,A`,B`,C`分别是三角形PAB.PBC.PAC的重心（1）求证：平面A`B`C`||平面ABC；（2）求S三角形A`B`C`：S三角形A`B`C`
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 17:21:17
P是三角形ABC所在平面外一点,A`,B`,C`分别是三角形PAB.PBC.PAC的重心（1）求证：平面A`B`C`||平面ABC；（2）求S三角形A`B`C`：S三角形A`B`C`
P是三角形ABC所在平面外一点,A`,B`,C`分别是三角形PAB.PBC.PAC的重心
（1）求证：平面A`B`C`||平面ABC；
（2）求S三角形A`B`C`：S三角形A`B`C`
P是三角形ABC所在平面外一点,A`,B`,C`分别是三角形PAB.PBC.PAC的重心（1）求证：平面A`B`C`||平面ABC；（2）求S三角形A`B`C`：S三角形A`B`C`
（1）作直线PA' PB' PC'分别交AB BC CA于K M N.因为A' B' C'分别为.的重心,所以PA'/PK=PB'/PM=PC'/PN=2/3,所以A'B'||KM B'C'||MN所以平面A`B`C`||平面ABC
（2）由（1）知三角形A`B`C`相似三角形KMN,相似比为2/3,所以S三角形A`B`C`/S三角形KMN=4/9,又因为S三角形KMN/S三角形=1/4S三角形ABC,所以S三角形A`B`C`=1/9S三角形ABC
求S三角形A'B'C':S三角形ABC 作AB中点M，AC中点N，连MN 则PM，PN分别过A',C'，则由于PA':PM=2:3平面A`B`C`平行平面ABC 额。。。
证明：（1）如图，分别取AB，BC，CA的中点M，N，Q， 连接PM，PN，PQ，MN，NQ，QM， ∵A′，B′，C′分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心， ∴A′，B′，C′分别在PN，PQ，PM上， 且PC′：PM=PA：PN=PB：PQ=2：3． 在△PMN中，PC′/ PM =PA′/ PN =2 3 ，故C′A′∥MN， 又M，N为△ABC的边AB，BC的中点，MN∥AC， ∴A′C′∥AC，∴A′C′∥平面ABC， 同理A′B′∥平面ABC∴平面ABC∥平面A′B′C′； （2）由（1）知A′B′ /QN =2/ 3 ，QN/ AB =1 /2 ，∴A′B′/AB=1/3． ∵△A'B'C'∽△ABC ∴S△A'B'C'：S△ABC=（ A′B′/AB）^2=1/9 望采纳，谢谢