已知数列{an}的前n项和为Sn=(n+1)^2+c,探究{an}是等差数列的充要条件

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 10:21:44
已知数列{an}的前n项和为Sn=(n+1)^2+c,探究{an}是等差数列的充要条件已知数列{an}的前n项和为Sn=(n+1)^2+c,探究{an}是等差数列的充要条件已知数列{an}的前n项和为

已知数列{an}的前n项和为Sn=(n+1)^2+c,探究{an}是等差数列的充要条件
已知数列{an}的前n项和为Sn=(n+1)^2+c,探究{an}是等差数列的充要条件

已知数列{an}的前n项和为Sn=(n+1)^2+c,探究{an}是等差数列的充要条件
n=1代入:a(1)=c+4
S(n)=(n+1)^2+c ……(1)
n+1代入(1):
S(n+1)=(n+2)^2+c ……(2)
(2)-(1)化简得:
a(n+1)=2n+3
即:a(n)=2n+1
由于 {an} 是等差数列,因此a(1)应该满足通项公式
所以:c+4=3
c=-1
所以 充要条件是 c=-1
必要性已证,充分性显然

c=-1
证明:充分性:c=-1时,Sn=n^2+2n
an=Sn-Sn-1=2n+1(n>1)
a1=3满足上式。
an-an-1=2,即{an}是等差数列
必要性:若{an}是等差数列,设an=pn+q(p,q∈R)
Sn=p(1+2+……+n)+qn=p/2*n(n+1)+qn=p/2*n^2+(p/2+q)n
即没有常数项
观察Sn,易得c=-1

Sn-S(n-1)=2n+1=an
an-a(n-1)=2 所以an是等差数列
假设an不是等差数列,则an-a(n-1)=d=Sn-S(n-1)-S(n-1)+S(n-2)=(n+1)^2-2(n-1+1)^2+(n-2+1)^2=2 即an-a(n-1)=2 ,假设不成立,即 an是等差数列

C= -1