已知抛物线y^2=x 及直线L：y=x-4 ,是否存在正方形ABCD,其顶点A、C在L上且顶点B、D在抛物线上?若存在,求出正方形的边长；若不存在,说明理由.答案是存在,边长为根号13.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/21 09:04:45
已知抛物线y^2=x 及直线L：y=x-4 ,是否存在正方形ABCD,其顶点A、C在L上且顶点B、D在抛物线上?若存在,求出正方形的边长；若不存在,说明理由.答案是存在,边长为根号13.
已知抛物线y^2=x 及直线L：y=x-4 ,是否存在正方形ABCD,其顶点A、C在L上且顶点B、D在抛物线上?若存在,求出正方形的边长；若不存在,说明理由.
答案是存在,边长为根号13.
已知抛物线y^2=x 及直线L：y=x-4 ,是否存在正方形ABCD,其顶点A、C在L上且顶点B、D在抛物线上?若存在,求出正方形的边长；若不存在,说明理由.答案是存在,边长为根号13.
因为A,C在L上,即AC为正方形的对角线,所以BD为另一条对角线,设BD所在的直线为L',且L'⊥L,所以斜率为-1,设直线L'为y=-x+b,直线L'与抛物线相交于D(X1,y1),B（x2,y2),联立L',抛物线的方程组,得x1+x2=2b+1,y1+y2=-1,而且BD的中点在L上,所以将中点代入直线方程,中点为E（1/2(x1+x2),1/2(y1+y2)),所以E（b+1/2,-1/2).最后得b=3,根据弦长公式得LBD=根号下26,所以正方形边长为;根号2/2倍LBD=(根号2/2)×根号26=根号13.
利用正方形对角线垂直且平分
设抛物线上两点d1（a1,b1),d2(a2,b2) 直线上点d3(a3,b3)作直线d1d3垂直于d1d2于d1
a1-a2=b1-b2（正方形对边平行）
b1^2-b2^2=b1-b2
b1+b2=1
b3=a3-4
a3-a1=-(b3-b1)
b3+4-b1^2=-(b3-b1)
b3=(b1+b1^2-4)/2
因为是正方...
全部展开
设抛物线上两点d1（a1,b1),d2(a2,b2) 直线上点d3(a3,b3)作直线d1d3垂直于d1d2于d1
a1-a2=b1-b2（正方形对边平行）
b1^2-b2^2=b1-b2
b1+b2=1
b3=a3-4
a3-a1=-(b3-b1)
b3+4-b1^2=-(b3-b1)
b3=(b1+b1^2-4)/2
因为是正方形，边长一样
(a3-a1)^2+(b3-b1)^2=(a2-a1)^2+(b2-b1)^2
全部转化为关于b1的等式：
[(b1+b1^2-4)/2+4-b1^2]^2+[(b1+b1^2-4)/2-b1]^2=[(1-b1)^2-b1^2]^2+(1-b1-b1)^2
[-1/2b1^2+1/2b1+2]^2+[1/2b1^2-1/2b1-2]^2=[-2b1+1]^2+(1-2b1)^2
2[1/2b1^2-1/2b1-2]^2=2(1-2b)^2
1/2b1^2-1/2b1-2=1-2b1
或2b1-1=1/2b1^2-1/2b1-2
先考虑一式
1/2b1^2-1/2b1-2=1-2b1
b1^2+3b1-6=0
b1=-3/2*(1±√5）
二式：2b-1=1/2b1^2-1/2b1-2
b1^2-5b-2=0
b1=1/2*(5±√33)
则边长为：√2(1-2b1)分别把b1值代入
收起
志媛 正解