已知数列{an}的前n项和为Sn,且对任意正整数n,都有an是n与Sn的等差中项,求数列{an}的通项公式
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 04:28:11
已知数列{an}的前n项和为Sn,且对任意正整数n,都有an是n与Sn的等差中项,求数列{an}的通项公式
已知数列{an}的前n项和为Sn,且对任意正整数n,都有an是n与Sn的等差中项,求数列{an}的通项公式
已知数列{an}的前n项和为Sn,且对任意正整数n,都有an是n与Sn的等差中项,求数列{an}的通项公式
解 2an=n+Sn
Sn=2an-n （1）
S(n-1)=2a(n-1)-n+1
做差的 an=2an-2a(n-1）+1
an=2a(n-1)+1
an+1=2[a(n-1)+1]
即 [an+1]/[a(n-1)+1]=2
所以 [an+1]是以公比为2 得等比数列
所以 an+1=a1*2^(n-1)
带入 （1）式 a1=2a1-1 a1=1
即an=2^(n-1)-1
对任意正整数n，都有an是n与Sn的等差中项;
所以:Sn+n=2an;
Sn=a1+a2+......+an;
S(n-1)=a1+a2+......+a(n-1);
a1+a2+......+an+n=2an;
a1+a2+......+a(n-1)+n-1=2a(n-1);
两式上下相减得:
an+1=2an-2a(n-1);
...
全部展开
对任意正整数n，都有an是n与Sn的等差中项;
所以:Sn+n=2an;
Sn=a1+a2+......+an;
S(n-1)=a1+a2+......+a(n-1);
a1+a2+......+an+n=2an;
a1+a2+......+a(n-1)+n-1=2a(n-1);
两式上下相减得:
an+1=2an-2a(n-1);
an=2a(n-1)+1;
an+1=2(a(n-1)+1);
an+1/a(n-1)+1=2;
a(n-1)+1/a(n-2)+1=2;
......
a2+1/a1+1=2
相乘
an+1/a1+1=2^n;
an=2^n(a1+1)-1;
an=2^(n+1)-1
收起
Sn+n=2*An
则Sn + A(n+1) + n + 1=2 * A(n+1),,,A1=1;
∴A(n+1) - 2*An=1
∴ (A(n+1) + 1)=2*(An + 1)
∴ A1 +1=2 An=2^n - 1