已知A,B,C三角形ABC的内角,求sinA+sinB+sinC的最大值?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 16:45:23
已知A,B,C三角形ABC的内角,求sinA+sinB+sinC的最大值?
已知A,B,C三角形ABC的内角,求sinA+sinB+sinC的最大值?
已知A,B,C三角形ABC的内角,求sinA+sinB+sinC的最大值?
解析几何的证:
设A
角A、90B、90C，90不可能，只剩下30'60'90'.60,60,60或45,45.90自己比一下
已知A, B, C是ΔABC的内角
∴A＋B＋C＝180°
∴C＝180°－(A＋B)
∴sinC＝sin(A＋B)
且有：0°
0°<α<90°，0°≤β<90°
根据三角和差化积公式和倍角公式，有：
sinA＋sinB＋sinC＝(sinA...
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已知A, B, C是ΔABC的内角
∴A＋B＋C＝180°
∴C＝180°－(A＋B)
∴sinC＝sin(A＋B)
且有：0°
0°<α<90°，0°≤β<90°
根据三角和差化积公式和倍角公式，有：
sinA＋sinB＋sinC＝(sinA＋sinB)＋sin(A＋B)
＝2sin[(A＋B)/2]cos[(A－B)/2]＋2sin[(A＋B)/2]cos[(A＋B)/2]
＝2sin[(A＋B)/2]{cos[(A－B)/2]＋cos[(A＋B)/2]}
＝2sinα(cosβ＋cosα)
≤2sinα(1＋cosα)…………（当且仅当α＝0°即A＝B时，等号成立）
令f(α)＝2sinα(1＋cosα)，则：
当f'(α)＝0且f"(α)<0时，f(α)取最大值
f'(α)＝2cosα＋2cos2α＝2[2(cosα)^2＋cosα－1]＝2(2cosα－1)(cosα＋1)＝0
∴cosα＝1/2，或cosα＝-1（舍）
即α＝arctan(1/2)＝60°
f"(α)＝-2sinα－4sin2α＝-2sin60°－4sin120°＝-3sqrt(3)<0
∴当A＋B＝120°时，f(α)max＝2sin60°(1＋cos60°)＝3sqrt(3)/2
综上所述，当A＝B＝C＝60°时，sinA＋sinB＋sinC取最大值3sqrt(3)/2
注：x^2表示x的平方，sqrt(x)表示x的平方根。
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