如图,平行四边形ABCD中,对角线AB、CD交于点O,若角BOC=120度,AD=7,BD=10,求平行四边形ABCD的面积
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 09:25:46
如图,平行四边形ABCD中,对角线AB、CD交于点O,若角BOC=120度,AD=7,BD=10,求平行四边形ABCD的面积
如图,平行四边形ABCD中,对角线AB、CD交于点O,若角BOC=120度,AD=7,BD=10,求平行四边形ABCD的面积
如图,平行四边形ABCD中,对角线AB、CD交于点O,若角BOC=120度,AD=7,BD=10,求平行四边形ABCD的面积
过点D作AC的垂涎交AC于点E,角BOC=120,所以角DOE=60,BD=10,OD=5,
DE=OD*sin60=5*根号3/2,因为AD=7,AE方=AD方-DE方=（5*根号3/2)^2+49=121/4
AE=11/2,OE=OD*cos60=5/2,所以OA=11/2-5/2=3,
AC=6,平行四边形ABCD面积=AC*DE*2=6*5*根号3/2*2=30根号3
过B作BE⊥DA，E是垂足(按上面的图形，E在DA的延长线上)；过O作OF⊥AD，F是垂足。
设∠ODA=α，∵∠BOC=∠AOD=120°，∴∠OAD=60°-α；
在△AOD中使用正弦定理，得OA=(7/sin120°)sinα=(14/√3)sinα，于是得等式：
OF=OAsin(60°-α)=ODsinα，即有[(14/√3)sinα]sin(60°-α)=5si...
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过B作BE⊥DA，E是垂足(按上面的图形，E在DA的延长线上)；过O作OF⊥AD，F是垂足。
设∠ODA=α，∵∠BOC=∠AOD=120°，∴∠OAD=60°-α；
在△AOD中使用正弦定理，得OA=(7/sin120°)sinα=(14/√3)sinα，于是得等式：
OF=OAsin(60°-α)=ODsinα，即有[(14/√3)sinα]sin(60°-α)=5sinα，化简得:
sin(60°-α)=5/(14/√3)=5(√3)/14，故60°-α=arcsin[5(√3)/14]，∴α=60°-arcsin[5(√3)/14]。
于是BE=BDsinα=10sin{60°-arcsin[5(√3)/14]}
=10{sin60°cos[arcsin[5(√3)/14]-cos60°sin[arcsin[5(√3)/14]}
=10{(√3/2)√(1-75/196)-(1/2)[5(√3)/14]}
=10[(√3/2)(11/14)-5√3)/28]=60(√3)/28=15(√3)/7
∴平行四边形ABCD的面积S=AD×BE=7×15(√3)/7=15√3。
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