如图,在△ABC中,点P是AB上的一点,且向量CP=3/4向量CA+1/4向量CB,Q是BC的中点
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 23:07:21
如图,在△ABC中,点P是AB上的一点,且向量CP=3/4向量CA+1/4向量CB,Q是BC的中点
如图,在△ABC中,点P是AB上的一点,且向量CP=3/4向量CA+1/4向量CB,Q是BC的中点
如图,在△ABC中,点P是AB上的一点,且向量CP=3/4向量CA+1/4向量CB,Q是BC的中点
∵向量AQ=(1/2)(向量AC+向量BC).【为简化打字,以下省去“向量”二字】
即,AQ=(1/2)(AC-+BC).
=(1/2)[-CA+(CB-CA)].
=(1/2)(-2CA+CB).
AQ=-CA+(1/2)CB.
CM=CQ-MQ.
=CQ-(AQ-AM).
=(1/2)CB-[(AQ-μAQ).
=(1/2)CB-[(1-μ)AQ]
=(1/2)CB +(1-μ)CA-(1/2)(1-μ)CB
∴CM=(1-μ )CA+(μ/2)CB.(1).
又题设 CM=λCP.
即,CM=λ[(3/4)CA+(1/4)CB]=(3λ/4)CA+(λ/4)CB.(2).
由(1)=(2),并令等式两边的同一个向量的对应系数相等,得:
3λ/4=(1-μ) (*)
μ/2=λ/4 (**).
由(**)得:λ=2μ.将λ=2μ代入(*)式,得:μ=2/5,最后得到:λ=4/5.
∴λ+μ=2/5+4/5=6/5.
∴选D.
CM=CA+AM=CA+μAQ=CA+μ(AC+CQ)=CA+μ(AC+1/2CB)=(1-μ)CA+1/2μCB
CM=入CP=3入/4CA+入/4CB
有1-μ=3入/4; 1/2μ=入/4,解得μ=2/5,入=4/5,所以μ+入=6/5
答案为D
ps:其实用纯平面几何的知识也可以解。容易知道P为AB的一个四等分点,过P作PN∥BC,交AB于N,交AQ于E,...
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CM=CA+AM=CA+μAQ=CA+μ(AC+CQ)=CA+μ(AC+1/2CB)=(1-μ)CA+1/2μCB
CM=入CP=3入/4CA+入/4CB
有1-μ=3入/4; 1/2μ=入/4,解得μ=2/5,入=4/5,所以μ+入=6/5
答案为D
ps:其实用纯平面几何的知识也可以解。容易知道P为AB的一个四等分点,过P作PN∥BC,交AB于N,交AQ于E,易知PN=1/4BC,NE=1/4CQ=1/8BC,所以PE=1/8BC=1/4CQ,根据三角形相似可以知道PM=1/4CP,所以PM=1/5CP,那么CM=4/5CP,即入=4/5。类似的,可求出AM=2/5AQ
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