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来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/21 22:20:42
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如图5,在等腰直角三角形ABC中,∠A =90º BC=6,D,E分别是AC,AB上的点,CD=BE= √2,
O为BC的中点.将△ADE沿DE折起,得到如图6所示的四棱椎A’-BCDE,其中A’O=√3.
1）证明：AO'⊥平面BCDE；
2）求二面角A’-CD-B的平面角的余弦值
在等腰直角三角形ABC中,∠A =90º,BC=6,D,E分别是AC,AB上的点,CD=BE= √2,
O为BC的中点；将△ADE沿DE折起,得到如图6所示的四棱椎A’-BCDE,其中A’O=√3；
1).证明A'O⊥平面BCDE；2）求二面角A’-CD-B的平面角的余弦值
证明：1).在图五中,AB=BCcos45º=6(√2/2)=3√2,故AE=AB-BE=3√2-√2=2√2；
将△ADE沿DE折起成图六,由于在折起过程中,点A是以E为圆心,AE为半径旋转而将
点A移到了A‘的位置,因此A'E=AE=2√2；
在图五中连接OE；在△OBE中,OB=3,BE=√2,∠B=45º；故由余弦定理,得：
OE=√[9+2-6(√2)cos45º]=√5；在折转过程中,OE长度不变；因此在图六中,仍有OE=√5;
在图六的△A'OE中,由于A'O²+OE²=(√3)²+(√5)²=8=AE²=(2√2)²,∴△A'OE是RT△,即有
A'O⊥OE；基于对称性,同样可证得A'O⊥OD；而OE和OD是平面BCDE内的两条相交直
线,∴A'O⊥平面BCDE.
2).将图六中的CD和BE延长使之相交,那么这个交点就是图五中的A点(在图六中仍叫A点).
连接AA',那么AA'=√(A'O²+AO²)=√[(√3)²+3²]=√12=2√3；故A'A=A'B=A'C=2√3；取CD的中
点F,连接A'F,因为A'AC是等腰三角形.故A'F⊥AC；连接OF,则OF⊥AC；故∠A'FO就
是二面角A’-CD-B的平面角；在RT△A'FO中,A'F=√(A'A²-AF²)=√{(2√3)²-[(3/2)√2]²}=√(15/2)；
OF=(1/2)AB=(3/2)√2；故cos∠A'FO=OF/A'F=[(3/2)√2]/[√(15/2)]=(4/15)√5.