如图,RT三角形ABC中,AD为斜边BC的高,P为AD的中点,BP交AC于N,MN垂直BC于M,求证：MN是AN,NC的比例中项
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 18:16:49
如图,RT三角形ABC中,AD为斜边BC的高,P为AD的中点,BP交AC于N,MN垂直BC于M,求证：MN是AN,NC的比例中项
如图,RT三角形ABC中,AD为斜边BC的高,P为AD的中点,BP交AC于N,MN垂直BC于M,求证：MN是AN,NC的比例中项
如图,RT三角形ABC中,AD为斜边BC的高,P为AD的中点,BP交AC于N,MN垂直BC于M,求证：MN是AN,NC的比例中项
O(∩_∩)O哈哈~这个问题我刚在搜搜问问中回答过,见：http://wenwen.soso.com/z/q237217300.htm
不懂可以向我追问哦
谢谢采纳 O(∩_∩)O~
作MF⊥AD于F，令∠BCA=θ且BC=d,因△BDP∽△BMN，△CDA∽△CMN，
则DP/MN=BD/BM，MN/AD=CM/CD，解得DM=d(sinθcosθ)^2/[1+(sinθ)^2],
进而AN=DM/cosθ=dcosθ(sinθ)^2/[1+(sinθ)^2],
CN=AC-AN=dcosθ-dcosθ(sinθ)^2/[1+(sinθ)^2]=dco...
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作MF⊥AD于F，令∠BCA=θ且BC=d,因△BDP∽△BMN，△CDA∽△CMN，
则DP/MN=BD/BM，MN/AD=CM/CD，解得DM=d(sinθcosθ)^2/[1+(sinθ)^2],
进而AN=DM/cosθ=dcosθ(sinθ)^2/[1+(sinθ)^2],
CN=AC-AN=dcosθ-dcosθ(sinθ)^2/[1+(sinθ)^2]=dcosθ/[1+(sinθ)^2],
MN=CNsinθ=dcosθsinθ/[1+(sinθ)^2],
由此，AN×CN=（dcosθsinθ)^2/[1+(sinθ)^2]^2=MN^2
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如图，作ME⊥AC于E，再延长MN、BA交于点F
∵AD‖MN
∴△BPD∽△BNM 且 △BAD∽△BFM
∴DP / MN = BD / BM 且 AD / MF = BD / BM
∴DP / MN = AD / MF
∴DP / AD = MN / MF
...
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如图，作ME⊥AC于E，再延长MN、BA交于点F
∵AD‖MN
∴△BPD∽△BNM 且 △BAD∽△BFM
∴DP / MN = BD / BM 且 AD / MF = BD / BM
∴DP / MN = AD / MF
∴DP / AD = MN / MF
∵P为AD中点
∴DP / AD = 1 / 2
∴MN / MF = 1 / 2
∴MN=FN
又∵∠MNE=∠FNA，∠MEN=∠FAN=90°
∴△MNE ≌ △FNA（AAS）
∴AN=NE
NM⊥MC，ME⊥NC
很明显有双垂图形 所以根据射影定理得：MN² = NE × NC
∵AN=NE
∴MN² = AN × NC
∴MN为AN，NC的比例中项
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