在平面直角坐标系xoy中,直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆x^2/a^2+y^2=1(a>1)上,其中A(0,1)为直角顶点若该三角形面积的最大值为27/8,则实数a的值为?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 14:44:30
在平面直角坐标系xoy中,直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆x^2/a^2+y^2=1(a>1)上,其中A(0,1)为直角顶点若该三角形面积的最大值为27/8,则实数a的值为?
在平面直角坐标系xoy中,直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆x^2/a^2+y^2=1(a>1)上,其中A(0,1)为直角顶点
若该三角形面积的最大值为27/8,则实数a的值为?
在平面直角坐标系xoy中,直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆x^2/a^2+y^2=1(a>1)上,其中A(0,1)为直角顶点若该三角形面积的最大值为27/8,则实数a的值为?
分析：设直线AB的方程为y=kx+1,（k≠0）．将直线AB方程与椭圆消去y,解得B的坐标,再用两点之间距离公式,可以算出AB长关于a、k的表达式,同理可得AC长关于a、k的表达式,从而得到Rt△ABC的面积S关于a、k的表达式,根据基本不等式进行讨论,可得△ABC的面积S的最大值为a4a(a2-1),最后结合题意解关于a的方程,即可得到实数a的值．
设直线AB的方程为y=kx+1则直线AC的方程可设为y=-1kx+1,（k≠0）
由y=kx+1x2a2+y2=1消去y,得（1+a2k2）x2+2a2kx=0,所以x=0或x=-2a2k1+a2k2
∵A的坐标（0,1）,
∴B的坐标为（-2a2k1+a2k2,k•-2a2k1+a2k2+1）,即B（-2a2k1+a2k2,1-a2k21+a2k2）
因此,AB=(0--2a2k1+a2k2)2+(1-1-a2k21+a2k2)2=1+k2•|2a2k|1+a2k2,
同理可得：AC=1+1k2•|2a2k|1+a2k2
∴Rt△ABC的面积为S=12AB•AC=2+k2+1k2•2a41+a4+a2(k2+1k2)=2a4|k+1k|1+a4+a2(k2+1k2)
令t=|k+1k|,得S=2a4t1+a4+a2(t2-2)=2a4(a2-1)2t+a2t
∵t=|k+1k|≥2,∴S△ABC≤2a42(a2-1)2t×a2t=a4a(a2-1)
当且仅当a2-1t=at,即t=a2-1a时,△ABC的面积S有最大值为a4a(a2-1)=278
解之得a=3或a=3+29716
∵a=3+29716时,t=a2-1a＜2不符合题意,
∴a=3
故答案为：3