已知平行四边形ABCD,AD=a,AB=b,∠ABC=α.点F为线段BC上的一点,连接AF、AC,连接DF,并延长DF交AB的延长线于点E,连接CE.1.当F为BC的中点时,求证：△EFC与△ABF面积相等2.当F不是BC的中点时,△EFC与△ABF面积
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/18 05:30:26
已知平行四边形ABCD,AD=a,AB=b,∠ABC=α.点F为线段BC上的一点,连接AF、AC,连接DF,并延长DF交AB的延长线于点E,连接CE.1.当F为BC的中点时,求证：△EFC与△ABF面积相等2.当F不是BC的中点时,△EFC与△ABF面积
已知平行四边形ABCD,AD=a,AB=b,∠ABC=α.点F为线段BC上的一点,连接AF、AC,连接DF,并延长DF交AB的延长线于点E,连接CE.
1.当F为BC的中点时,求证：△EFC与△ABF面积相等
2.当F不是BC的中点时,△EFC与△ABF面积还相等吗?说明理由
已知平行四边形ABCD,AD=a,AB=b,∠ABC=α.点F为线段BC上的一点,连接AF、AC,连接DF,并延长DF交AB的延长线于点E,连接CE.1.当F为BC的中点时,求证：△EFC与△ABF面积相等2.当F不是BC的中点时,△EFC与△ABF面积
.当F为BC的中点时,求证：△EFC与△ABF面积相等
当F为BC中点时,BF=CF
根据三角形的面积公式S=(1/2)ah（a为底边,h为高）可以知道：
S△ABF=S△DCF（因为它们的底BF=CF,高分别是A、D到BC的距离,而ABCD为平行四边形,所以高肯定相等）
又,CD//BE
所以,∠BEF=∠CDF（内错角）
而,∠BFE=∠CFD （对顶角）
且,BF=CF
所以,△BEF≌△CDF（AAS）
所以,EF=DF
所以,S△CEF=S△CDF（同上,它们的底边EF=DF,高都是点C到DE的距离）
所以,S△CEF=S△CDF=S△ABF
2.当F不是BC的中点时,△EFC与△ABF面积还相等吗?说明理由
如下图
当F不是BC中点时,令BF/FC=m/n
因为BC=AD=a,所以：BF=ma/(m+n)、CF=na/(m+n)
所以,由正弦定理得到：S△ABF=(1/2)AB*BF*sinα
=(1/2)*b*[ma/(m+n)]*sinα=(1/2)absinα*[m/(m+n)]………（1）
又因为BE//CD
所以,△BEF∽△CDF
所以,EF/FD=BF/FC=m/n
那么,S△EFC/S△DFC=m/n（同上,它们的高相等,都是点C到DE的距离,那么它们面积之比就等于底边长之比）
所以,S△EFC=[m/(m+n)]△DEC………………………………（2）
而,S△DEC=S△DAC
而,由正弦定理有：S△DAC=(1/2)AD*CD*sinα=(1/2)absinα
代入到(2),就有：
S△EFC=[m/(m+n)]*(1/2)absinα
对照(1),就有：
S△ABF=S△EFC 111