已知定义域为R的函数f(x)满足f（f(x)-x²+x）=f(x)-x²+x1.若f(2)=3,求f(1),若f(0)=a,求f(a)2.设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=xo,求函数f(x)的解析式
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 11:37:49
已知定义域为R的函数f(x)满足f（f(x)-x²+x）=f(x)-x²+x1.若f(2)=3,求f(1),若f(0)=a,求f(a)2.设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=xo,求函数f(x)的解析式
已知定义域为R的函数f(x)满足f（f(x)-x²+x）=f(x)-x²+x
1.若f(2)=3,求f(1),若f(0)=a,求f(a)
2.设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=xo,求函数f(x)的解析式
已知定义域为R的函数f(x)满足f（f(x)-x²+x）=f(x)-x²+x1.若f(2)=3,求f(1),若f(0)=a,求f(a)2.设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=xo,求函数f(x)的解析式
（I）因为对任意x∈R,有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x^2＋x
所以f(f(2)－2^2＋2)＝f(2)－2^2＋2
又由f(2)＝3,得 f (3－2^2＋2)＝3－2^2＋2,即 f(1)＝1
若f(0)＝a,则f (a－0^2＋0)＝a－0^2＋0,即 f(a)＝a
（Ⅱ）因为对任意x∈R,有f(f(x)－x^2＋x)＝f (x)－x^2＋x
又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)＝x0
所以对任意,有f(x)－x^2＋x＝x0
在上式中令x＝x0,有f(x0)－x0^2＋x0＝x0
又因为f(x0)＝x0,所以－x0^2 ＝0,故x0＝0或x0＝1
若x0＝0,则f(x)－x^2＋x＝0,即f(x)＝x^2－x
但方程x^2－x＝x有两个不相同实根,与题设条件矛盾.故x0≠0
若x0＝1,则有则f (x)－x^2＋x＝1,即f (x)＝x^2－x＋1.易验证函数满足题设条件.
综上,所以函数为f(x)＝x^2－x＋1（x∈R）
若f(2)=3,则由x=2代入
f(f(2)-4+2)=f(2)-4+2
f(1)=3-4+2=1
又若f(0)=a
将x=0代入
f(f(0)-0+0)=f(0)-0+0
f(f(0))=f(0)
所以,f(a)=
(1).f(1)=f[f(2)-2²+2]=f(2)-2²+2=1
f(a)=f[f(0)]=f[f(0)-0^2+0]=f(0)-0^2+0=a
(2). 对任意x∈R，有f(f(x)－x^2＋x)＝f (x)－x^2＋x
题目条件有f(x0)＝x0
有f(x)－x^2＋x＝x0
令x＝x0，有f(x0)－x0^2＋x0...
全部展开
(1).f(1)=f[f(2)-2²+2]=f(2)-2²+2=1
f(a)=f[f(0)]=f[f(0)-0^2+0]=f(0)-0^2+0=a
(2). 对任意x∈R，有f(f(x)－x^2＋x)＝f (x)－x^2＋x
题目条件有f(x0)＝x0
有f(x)－x^2＋x＝x0
令x＝x0，有f(x0)－x0^2＋x0＝x0
又因为f(x0)＝x0，所以－x0^2 ＝0，故x0＝0或x0＝1
若x0＝0，则有f(x)－x^2＋x＝0，即f(x)＝x^2－x
但方程x^2－x＝x有两个不相同实根，与只有有一根相矛盾。故x0≠0
若x0＝1，则有则f (x)－x^2＋x＝1，即f (x)＝x^2－x＋1。满足题设条件，所以f (x)＝x^2－x＋1
收起
设t=f(x)-x²+x,根据你给的条件有f(t)=t，即f(x)=x.
1.f(2)不可能＝3,再检查一下你的题目。