柯西积分公式一般形式的证明
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/10/05 22:46:29
柯西积分公式一般形式的证明柯西积分公式一般形式的证明柯西积分公式一般形式的证明有没学过复合闭路定理?与那个定理的证明完全类似.见图:证明:做辅助线L1,L2,...,Lk,L将大圈与小圈连接.观察下面
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有没学过复合闭路定理?与那个定理的证明完全类似.见图:
证明:做辅助线L1,L2,...,Lk,L将大圈与小圈连接.观察下面两条曲线:Γ1:从B出发,沿大圈上半部分到A,然后L1,然后C1的上半部分,然后L2,然后C2的上半部分,.,Ck的上半部分,然后L,回到B,在这条闭曲线内,f(z)解析.Γ2:从A出发,沿大圈下半部分到B,然后L,然后Ck的下半部分,.,然后C1的下半部分,然后L1,回到A,在这条闭曲线内,f(z)解析.由于z0在C内,不妨设,z0在Γ1内,则f(z0)=∮f(z)/(z-z0) dz 积分曲线为Γ1此时由于f(z)/(z-z0)在Γ2内无奇点,则f(z)/(z-z0)在Γ2上的积分为0因此 f(z0)=∮f(z)/(z-z0) dz 积分曲线为Γ1+Γ2下面观察Γ1+Γ2,可以看出 Γ1+Γ2=C+C1⁻+C2⁻+...+Ck⁻,(因为所有的L正好抵消了,而所有的小圈走的是顺时针,大圈走的是逆时针).因此:f(z0)=∮f(z)/(z-z0) dz 积分曲线为C+C1⁻+C2⁻+...+Ck⁻即:f(z0)=∮C f(z)/(z-z0) dz - Σ∮Ci f(z)/(z-z0) dz i=1到k
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