一道关于圆锥曲线（椭圆）的题如图：椭圆（x^2/a^2）+（y^2/b^2）=1（a〉b〉0）与过A（2,0）B（0,1）的直线有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率为e=（根号3）/2.1）求椭圆方程2）设F1,F2分别为椭
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/07 06:42:09
一道关于圆锥曲线（椭圆）的题如图：椭圆（x^2/a^2）+（y^2/b^2）=1（a〉b〉0）与过A（2,0）B（0,1）的直线有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率为e=（根号3）/2.1）求椭圆方程2）设F1,F2分别为椭
一道关于圆锥曲线（椭圆）的题
如图：椭圆（x^2/a^2）+（y^2/b^2）=1（a〉b〉0）与过A（2,0）B（0,1）的直线有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率为e=（根号3）/2.
1）求椭圆方程
2）设F1,F2分别为椭圆的左右焦点,求证：｜AT｜^2=（1/2）*｜AF1｜*｜AF2｜
一道关于圆锥曲线（椭圆）的题如图：椭圆（x^2/a^2）+（y^2/b^2）=1（a〉b〉0）与过A（2,0）B（0,1）的直线有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率为e=（根号3）/2.1）求椭圆方程2）设F1,F2分别为椭
(1)问：AB直线方程为y=(2-x)/2
而e=c/a,则e²=c²/a²=3/4
4c²=3a²,而c²=a²-b²,则4a²-4b²=3a²,a=2b
则椭圆方程为x²/4b²+y²/b²=1
联立直线与椭圆方程,得：
2y²-2y+1-b=0
所以△=（-2）²-4×2×(1-b)=0
b²=1/8,则a²=4b²=1/2
所以椭圆方程为2x²+8b²=1
(2)问：再次联立方程,求出T点坐标为(1,1/2)
则AT²=(1-2)²+(1/2-0)²=5/4
F1T=(1+c)²+(1/2-0)²
F2T=(1-c)²+(1/2-0)²
而c=根号（a²-b²）=根号（3/8）
代入,计算得
｜AT｜²=（1/2）×｜AF1｜×｜AF2｜
第一问，先利用离心率e^2=3/4=c^2/a^2=a^2-b^2/a^2,可得a=2b
于是椭圆方程可写为：x^2+4y^2－4b^2）=0，这里面只有一个参数b了，然后求出直线方程：y=-x/2+1,代入椭圆方程，消去y后，得一关于x的一元二次方程，然后令这个方程△＝0，就可以求出b了，就可以求出椭圆的方程了。
第二问，由于椭圆已经确定，故焦点的坐标都可以求出，AF1和AF2都...
全部展开
第一问，先利用离心率e^2=3/4=c^2/a^2=a^2-b^2/a^2,可得a=2b
于是椭圆方程可写为：x^2+4y^2－4b^2）=0，这里面只有一个参数b了，然后求出直线方程：y=-x/2+1,代入椭圆方程，消去y后，得一关于x的一元二次方程，然后令这个方程△＝0，就可以求出b了，就可以求出椭圆的方程了。
第二问，由于椭圆已经确定，故焦点的坐标都可以求出，AF1和AF2都知道了，然后由刚才的那个一元二次方程，（b的值代入），求出交点T的坐标，应用距离公式，就很轻松的证明了。
收起