简谐运动为什么是正余弦图像?怎么用理论推导?我不是想知道图像或投影的证明我想知道纯理论的证明我知道F=-kX 那么根据加速度纯动力学角度怎么证明？
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 19:46:25
简谐运动为什么是正余弦图像?怎么用理论推导?我不是想知道图像或投影的证明我想知道纯理论的证明我知道F=-kX 那么根据加速度纯动力学角度怎么证明？
简谐运动为什么是正余弦图像?
怎么用理论推导?
我不是想知道图像或投影的证明
我想知道纯理论的证明
我知道F=-kX 那么根据加速度纯动力学角度怎么证明？
简谐运动为什么是正余弦图像?怎么用理论推导?我不是想知道图像或投影的证明我想知道纯理论的证明我知道F=-kX 那么根据加速度纯动力学角度怎么证明？
其实这个问题我并不推荐楼主思考,因为理论解释必然会用到数学,而楼主不一定能够懂了,况且,大学学理工专业的话这些东西都是会学到的.
（有些方程比较复杂,我做成了图片并有编号,请点开下面的图片）
现在我尝试着解释,楼主看着理解吧.
首先,我们都应该知道严格的简谐运动定义,即回复力满足 F=-kx（x为位移,看为任意常量）
由此出发,我们能够推出加速度a和位移的关系,也就是（1）式.
又,我们还应知道,加速度其实就是速度的导数（变化率）,而速度则是位移对时间的导数.也就是说,加速度是速度对时间的二阶导数,也就是(2)式.
对（2）式稍作变形,得到了方程（3）.在变形过程中,为了以后运算方便起见,我们又设定了个量ω（不然后来运算中会麻烦,而且你会知道,这个量有意义）
不要对这个方程觉得奇怪,这是一个简单的微分方程,它是有解的,它的解是一个函数,即我们要找的位移-时间关系,也就是（4）式.这个式子中多了个量,是在解方程时由于不定积分而带上的常量,和振动的初始状态有关.如果这个量取半个周期,方程就能变成正弦.
这就是简谐运动出现正、余弦图像的数学原因.
从单位圆的角度来看,能够比较好的理解正、余弦函数为什么会长成图像的样子成因,但很难和简谐运动的定义联系起来.也就是说,单位圆上“没有回复力”,适合做辅助手段理解.
利用单位圆：匀速圆周运动的物体，在直径上的投影，就是简写振动，圆周运动的半径是振幅，把振动方向看做Y周的话，圆周运动的半径和X 的夹角就叫做相位，圆周运动的角速度ω，Y轴上的投影到X的距离叫做位移x
x=ASin（ωt+a）
其实不是用理论推导的是通过单位圆的投影的方法，书本上有这个方法
图：http://www.pep.com.cn/oldimages/pic_224165.jpg
可看出实验描绘出的简谐运动的图象与正弦（或余弦）曲线非常相似，究竟是否为正弦（或余弦）曲线，可由图证明。图中圆O’就是简谐运动的图象，只不过是用匀速圆周运动转过的角度来作为记录时间。设图中任意时刻t，摆锤位置在P点，以转盘中心为圆心，振幅为半径作大圆O，与图象圆O’相切于M点，连结OM即为小圆...
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图：http://www.pep.com.cn/oldimages/pic_224165.jpg
可看出实验描绘出的简谐运动的图象与正弦（或余弦）曲线非常相似，究竟是否为正弦（或余弦）曲线，可由图证明。图中圆O’就是简谐运动的图象，只不过是用匀速圆周运动转过的角度来作为记录时间。设图中任意时刻t，摆锤位置在P点，以转盘中心为圆心，振幅为半径作大圆O，与图象圆O’相切于M点，连结OM即为小圆O’的直径，连结MP、OP并延长OP交大圆于点N，若假设点N为起始点，也是零时刻，单摆振幅为A，由数学关系可知：此时P点相对平衡位置的位移可表示为，由此证明简谐运动位移随时间变化的关系确实为正弦（或余弦）曲线。
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