已知椭圆x*2/a*2+y*2/b*2=1(a>b>0),它的上下顶点分别是A,B,点M是椭圆上的动点,（不与A,B重合）直线AM交直线y=2b于点N,且向量BM垂直于向量BN,求椭圆的离心率
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/18 13:45:38
已知椭圆x*2/a*2+y*2/b*2=1(a>b>0),它的上下顶点分别是A,B,点M是椭圆上的动点,（不与A,B重合）直线AM交直线y=2b于点N,且向量BM垂直于向量BN,求椭圆的离心率
已知椭圆x*2/a*2+y*2/b*2=1(a>b>0),它的上下顶点分别是A,B,点M是椭圆上的动点,（不与A,B重合）直线AM交直线y=2b于点N,且向量BM垂直于向量BN,求椭圆的离心率
已知椭圆x*2/a*2+y*2/b*2=1(a>b>0),它的上下顶点分别是A,B,点M是椭圆上的动点,（不与A,B重合）直线AM交直线y=2b于点N,且向量BM垂直于向量BN,求椭圆的离心率
解析几何所有的题,一种死解法,那就是死算,不过这道题计算量很小
设直线BM:y=kx-b,则BN:y=-1/k*x-b
BN:y=-1/k*x-b与y=2b的交点N的坐标是（-3bk,2b）,又因为A（0,b）
那么直线AN的方程是 y=-1/3k*x+b
将此直线与BM联列：
y=kx-b
y=-1/3k*x+b 解得M的坐标（6kb/(3k*k=1),(3k*k*b-b)/(3k*k+1）
又因为M在椭圆上,将所得的坐标代入椭圆方程得：
36k*k*(b/a)*(b/a)=12k*k
所以可得：(b/a)*(b/a)=1/3
所以b/a=√3/3
所以e=√6/3 和 “duodamo - 大魔导师 十二级” 的答案是一样的呢
有问题的话可以再问我哟~
用等比三角形、向量乘法，分两种情况讨论一下
现在很忙，最迟明天我回家帮你算算
可以设这个动点M（X1,Y1);
Kam=(Y1-b)/X1;
直线AM的方程为 Y-b=[=(Y1-b)/X1]*x;
交点N=(X1*b/(Y1-b), 2*b，
向量BN=(X1*b/(Y1-b),3*b)，
向BM=(X1,Y1+b)有
因为向量BN垂直向BM，
(X1*b/(Y1-b),3*b）*(X1,Y1+b)=0
...
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可以设这个动点M（X1,Y1);
Kam=(Y1-b)/X1;
直线AM的方程为 Y-b=[=(Y1-b)/X1]*x;
交点N=(X1*b/(Y1-b), 2*b，
向量BN=(X1*b/(Y1-b),3*b)，
向BM=(X1,Y1+b)有
因为向量BN垂直向BM，
(X1*b/(Y1-b),3*b）*(X1,Y1+b)=0
得到X1^2=-3(y1^2-b^2),
把点M（X1,Y1)带人椭圆方程得到
(bX1)^2 =-a^2(y1^2-b^2)，
两式联力的：
即两式相除：a^2=3*b^2
有因为c^2=a^-b^2
得到：c^2=2/3*b^2,
得到e=√6/3
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