过抛物线y^2=6x的顶点作相互垂直的两条直线,交抛物线于A,B两点,求AB中点的轨迹方程
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 15:59:08
过抛物线y^2=6x的顶点作相互垂直的两条直线,交抛物线于A,B两点,求AB中点的轨迹方程
过抛物线y^2=6x的顶点作相互垂直的两条直线,交抛物线于A,B两点,求AB中点的轨迹方程
过抛物线y^2=6x的顶点作相互垂直的两条直线,交抛物线于A,B两点,求AB中点的轨迹方程
设A(6/k^2,6/k),B(6k^2,-6k)
AB中点坐标为x=(6/k^2+6k^2)/2=3(1/k^2+k^2),y=(6/k-6k)/2=3(1/k-k)
消取参数k,得
AB中点的轨迹方程：y^2=3(x-6)
设A（x1,y1),B(x2.y2),AB中点M(s,t).A,B在曲线上，y1^2=6x1,y2^2=6x2,x1+x2=2s,y1+y2=2t
相减的[y1-y2]/[x1-x2]=6/[y1+y2]=3/t=KAB（存在时）
设直线AB：x=ky+b联立y^2=6x消去x得：y^2-6ky-6b=0,
y1+y2=6k,y1y2=-6b,x1x2=(ky1+b)(ky...
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设A（x1,y1),B(x2.y2),AB中点M(s,t).A,B在曲线上，y1^2=6x1,y2^2=6x2,x1+x2=2s,y1+y2=2t
相减的[y1-y2]/[x1-x2]=6/[y1+y2]=3/t=KAB（存在时）
设直线AB：x=ky+b联立y^2=6x消去x得：y^2-6ky-6b=0,
y1+y2=6k,y1y2=-6b,x1x2=(ky1+b)(ky2+b)=k^2y1y2+kb(y1+y2)+b^2=12bk^2+b^2
∵OA⊥OB，则x1x2+y1y2=0,j即有12bk^2+b^2+6b=0,6(2k^2-1)+b=0,(b≠0）......(1)
中点M(s,t)在AB上有s=kt+b,
又KAB=1/k=3/t,得k=t/3......(2)
b=s-(1/3)t^2......(3)
将(2)(3)代入(1)得t^2+s-6=0,当k=0时，也满足此式。
故AB中点的轨迹方程为：y^2+x-6=0
仅供参考！
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