为什么实数方程的虚根必为两共轭复数
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/11 04:48:13
为什么实数方程的虚根必为两共轭复数
为什么实数方程的虚根必为两共轭复数
为什么实数方程的虚根必为两共轭复数
假定你所说的是实系数一元n次方程,如果不是多项式的话结论未必成立.
对于一元n次方程
P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ...+ a_1 x + a_0 = 0
如果z=u+vi满足P(z)=0,且v非零,那么对P(z)取共轭得到
conj(P(z)) = P(conj(z)) = 0
所以conj(z)=u-vi也是P(x)=0的根.
或者更复杂一点,利用二项式定理展开所有的(u+vi)^k项,可以得到
(u+vi)^k = sum_{j=0..k} C(k,j) u^(k-j) v^j i^j
根据j的奇偶性可以最终把P(u+vi)分解成P(u+vi)=A(u,v)+i*B(u,v)的形式,这样A(u,v)=0,B(u,v)=0,可以得到P(u-vi)=A(u,v)-i*B(u,v)=0.
这种方法还适用于有理系数方程的二次无理根成对的证明.
举例说明：若实系数三次方程的三个根为：x1,x2,x3
x1肯定是实根，设x2,x3是虚根，那么x2和x3 必须是共轭的虚根，否则：
（x-x1)(x-x2)(x-x3)=0 的展开式的系数就会出现虚数，这与实系数方程
的假设矛盾，若虚根共轭出现就不会有这种情况。
x^3-3x^2+4x-2=0 （1）
它的三个根：
x1=1, x2=1+...
全部展开
举例说明：若实系数三次方程的三个根为：x1,x2,x3
x1肯定是实根，设x2,x3是虚根，那么x2和x3 必须是共轭的虚根，否则：
（x-x1)(x-x2)(x-x3)=0 的展开式的系数就会出现虚数，这与实系数方程
的假设矛盾，若虚根共轭出现就不会有这种情况。
x^3-3x^2+4x-2=0 （1）
它的三个根：
x1=1, x2=1+i x3=1-i
x2， x3 为共轭虚数
（x-1）[x-(1+i)][x-(1-i)]=x^3-3x^2+4x-2=0 即方程（1）
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也许我的回答不正确
但是从一元二次方程来看的话
直接看求根公式 就可以知道
判别式<0 那么 x1=[-b+根号(4ac-b^2)i]/2a
x2=[-b-根号(4ac-b^2)i]/2a
x1,x2显然是共轭复数
究其根本原因 应该是复数本身的特点
i^2=-1 (-i)^2=-1
因此 根号中所有的负数都可以化成...
全部展开
也许我的回答不正确
但是从一元二次方程来看的话
直接看求根公式 就可以知道
判别式<0 那么 x1=[-b+根号(4ac-b^2)i]/2a
x2=[-b-根号(4ac-b^2)i]/2a
x1,x2显然是共轭复数
究其根本原因 应该是复数本身的特点
i^2=-1 (-i)^2=-1
因此 根号中所有的负数都可以化成实数和根号(-1)的乘积
根号(-1)=i或-i这是导致你所说的方程虚根必为两共轭复数的根本原因
不知道我分析的对不对 希望能帮到你
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