怎样用柯西收敛原理直接证明区间套定理?（不能用其他的定理.）
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 12:31:45
怎样用柯西收敛原理直接证明区间套定理?（不能用其他的定理.）
怎样用柯西收敛原理直接证明区间套定理?（不能用其他的定理.）
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以前收藏的,希望对你有用,这些互证我个人不太喜欢...
你说的柯西定理是柯西中值定理吧？
柯西中值定理：设函数f(x),g(x)满足是在[a,b]连续，（a、b）可导，g'(x)≠0(x∈(a,b))
则至少存在一点,ξ∈(a,b),使f'(ξ)/g'(ξ)=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]成立
设f(x)=1/2*x^2,g(x)=x,定义域为R
[a(n),b(n)],n=1,2,3....为一个闭...
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你说的柯西定理是柯西中值定理吧？
柯西中值定理：设函数f(x),g(x)满足是在[a,b]连续，（a、b）可导，g'(x)≠0(x∈(a,b))
则至少存在一点,ξ∈(a,b),使f'(ξ)/g'(ξ)=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]成立
设f(x)=1/2*x^2,g(x)=x,定义域为R
[a(n),b(n)],n=1,2,3....为一个闭区间套
在[a(n),b(n)]上根据柯西中值定理，存在ξ∈(a(n),b(n)),使f'(ξ)/g'(ξ)=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]成立
这里f'(x)=x,g'(x)=1,
则有ξ=0.5[b(n)^2-a(n)^2]/[b(n)-a(n)],即ξ=0.5[b(n)+a(n)]
显然ξ=0.5[b(n)+a(n)]<=0.5[b(n)+b(n)]=b(n),ξ=0.5[b(n)+a(n)]>=0.5[a(n)+a(n)]=a(n)
即a(n)=<ξ<=b(n)
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