f（x）=lg[1+2^x+3^x+……+(n-1)^x+n^xa]/n,其中a是实数,n是任意给定的正自然数且n≥2,如果f（x）当x∈（-∞,1]时有意义,求a的取值范围.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 11:37:10
f（x）=lg[1+2^x+3^x+……+(n-1)^x+n^xa]/n,其中a是实数,n是任意给定的正自然数且n≥2,如果f（x）当x∈（-∞,1]时有意义,求a的取值范围.
f（x）=lg[1+2^x+3^x+……+(n-1)^x+n^xa]/n,其中a是实数,n是任意给定的正自然数且n≥2,如果f（x）当x∈（-∞,1]时有意义,求a的取值范围.
f（x）=lg[1+2^x+3^x+……+(n-1)^x+n^xa]/n,其中a是实数,n是任意给定的正自然数且n≥2,如果f（x）当x∈（-∞,1]时有意义,求a的取值范围.
若f（x）有意义,1+2^x+3^x+……+(n-1)^x+n^xa>0
等价于-a（1+2+3+……（n-1)/n=(n-1)/2
所以a∈（-(n-1)/2,∞)
证明：只需证明n≥2时，[1+2x+…+（n-1）x+nxa]2＜n[1+22x+…+（n-1）2x+n2xa]，a∈（0，1]，x≠0．
∵（a1+a2+…+an2）2=（a12+a22+…an2）+2（a1a2+a2a3+…+an-1an）≤（a12+a22+…an2）+[（a12+a22）+…+（a12+an2）]+[（a22+a32）+…+（a22+an2）]+…+[（an-22+...
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证明：只需证明n≥2时，[1+2x+…+（n-1）x+nxa]2＜n[1+22x+…+（n-1）2x+n2xa]，a∈（0，1]，x≠0．
∵（a1+a2+…+an2）2=（a12+a22+…an2）+2（a1a2+a2a3+…+an-1an）≤（a12+a22+…an2）+[（a12+a22）+…+（a12+an2）]+[（a22+a32）+…+（a22+an2）]+…+[（an-22+an-12）+（an-22+an2）]+（an-12+an2）
=n（a12+a22+…+an2）．
于是（a1+a2+…+an）2≤n（a12+a22+…+an2）当a1=a2=…=an时成立．
利用上面结果知，当a=1，x≠0时，因1≠2x，所以有[1+2x+…+（n-1）x+nxa]2＜n[1+22x+…+（n-1）2x+n2xa]，a∈（0，1]，
当0＜a＜1，x≠0时，因a2＜a，所以有
[1+2x+…+（n-1）x+nxa]2＜n[1+22x+…+（n-1）2x+n2xa]，即有2f（x）＜f（2x）a∈（0，1]，x≠0．
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