学详细越好,只要这一章的

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高考一轮复习教案（集合）
一．课标要求：
1．集合的含义与表示
（1）通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系；
（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用；
2．集合间的基本关系
（1）理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集；
（2）在具体情境中,了解全集与空集的含义；
3．集合的基本运算
（1）理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集；
（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集；
（3）能使用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用.
二．命题走向
有关集合的高考试题,考查重点是集合与集合之间的关系,近年试题加强了对集合的计算化简的考查,并向无限集发展,考查抽象思维能力,在解决这些问题时,要注意利用几何的直观性,注意运用Venn图解题方法的训练,注意利用特殊值法解题,加强集合表示方法的转换和化简的训练.考试形式多以一道选择题为主,分值5分.
高考将继续体现本章知识的工具作用,多以小题形式出现,也会渗透在解答题的表达之中,相对独立.具体题型估计为：（1）热点是集合的基本概念、运算和工具作用.
三．要点精讲
1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合.
（1）集合中的对象称元素,若a是集合A的元素,记作 ；若b不是集合A的元素,记作 ；
（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；
确定性：设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则或者是A的元素,或者不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立；
互异性：一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体（对象）,因此,同一集合中不应重复出现同一元素；
无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异,集合不同于元素的排列顺序无关；
（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；
列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内；
描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内.
具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
注意：列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法.
（4）常用数集及其记法：
非负整数集（或自然数集）,记作N；
正整数集,记作N*或N+；整数集,记作Z；有理数集,记作Q；实数集,记作R.
2．集合的包含关系：
（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素,则称A是B的子集（或B包含A）,记作A B（或 ）；
集合相等：构成两个集合的元素完全一样.若A B且B A,则称A等于B,记作A=B；若A B且A≠B,则称A是B的真子集,记作A B；
（2）简单性质：1）A A；2） A；3）若A B,B C,则A C；4）若集合A是n个元素的集合,则集合A有2n个子集（其中2n－1个真子集）；
3．全集与补集：
（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集,记作U；
（2）若S是一个集合,A S,则, = 称S中子集A的补集；
（3）简单性质：1） ( )=A；2） S= , =S.
4．交集与并集：
（1）一般地,由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与B的交集.交集 .
（2）一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集. .
注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是“且”与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合Venn图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法.
5．集合的简单性质：
（1） （2）
（3） （4） ；
（5） （A∩B）=（ A）∪（ B）, （A∪B）=（ A）∩（ B）.
四．典例解析
题型1：集合的概念
例1．设集合 ,若 ,
由于 中 只能取到所有的奇数,而 中18为偶数.则 .
例2．设集合P={m|－1＜m≤0 ,Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x恒成立 ,则下列关系中成立的是P Q
Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x恒成立＝,对m分类：
①m=0时,－4＜0恒成立；
②m＜0时,需Δ=（4m）2－4×m×（－4）＜0,解得m＜0.
综合①②知m≤0,
∴Q={m∈R|m≤0}.
点评：该题考察了集合间的关系,同时考察了分类讨论的思想.集合 中含有参数m,需要对参数进行分类讨论,不能忽略m=0的情况.
题型2：集合的性质
例3．（2000广东,1）已知集合A={1,2,3,4},那么A的真子集的个数是（ ）
点评：该题考察集合子集个数公式.注意求真子集时千万不要忘记空集 是任何非空集合的真子集.同时,A不是A的真子集.
变式题：同时满足条件：① ②若 ,这样的集合M有多少个,举出这些集合来.
答案：这样的集合M有8个.
例4．已知全集 ,A={1, }如果 ,则这样的实数 是否存在?若存在,求出 ,若不存在,说明理由.
∵ ；
∴ ,即 ＝0,解得
当 时, ,为A中元素；
当 时,
当 时, ∴这样的实数x存在,是 或 .
另法：∵
∴ ,
∴ ＝0且 ∴ 或 .
点评：该题考察了集合间的关系以及集合的性质.分类讨论的过程中“当 时, ”不能满足集合中元素的互异性.此题的关键是理解符号 是两层含义： .
变式题：已知集合 , , ,求
由 可知,
（1） ,或（2）
解（1）得 ,
解（2）得 ,
又因为当 时, 与题意不符,所以, .
题型3：集合的运算
例6．（06安徽理,1）设集合 , ,则 等于（ ）
, ,所以 .
题型4：图解法解集合问题
例7．（2003上海春,5）已知集合A={x||x|≤2,x∈R},B={x|x≥a},且A B,则实数a 图
的取值范围是____ _.
∵A={x|－2≤x≤2},B={x|x≥a},又A B,利用数轴上覆盖关系：如图所示,因此有a≤－2.

例8．（1996全国理,1）已知全集I＝N*,集合A＝｛x｜x＝2n,n∈N*｝,B＝｛x｜x＝4n,n∈N｝,则I＝A∪（ B ）
方法一： A中元素是非2的倍数的自然数, B中元素是非4的倍数的自然数,显然,只有C选项正确.
图
方法二：因A＝｛2,4,6,8…｝,B＝｛4,8,12,16,…｝,所以 B＝｛1,2,3,5,6,7,9…｝,所以I＝A∪ B,故答案为C.
方法三：因B A,所以（ ）A （ ）B,（ ）A∩（ B）＝ A,故I＝A∪（ A）＝A∪（ B）.
方法四：根据题意,我们画出Venn图来解,易知B A,如图：可以清楚看到I=A∪（ B）是成立的.
点评：本题考查对集合概念和关系的理解和掌握,注意数形结合的思想方法,用无限集考查,提高了对逻辑思维能力的要求.
题型5：集合的应用
例9．向50名学生调查对A、B两事件的态度,有如下结果 赞成A的人数是全体的五分之三,其余的不赞成,赞成B的比赞成A的多3人,其余的不赞成；另外,对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人?
赞成A的人数为50× =30,赞成B的人数为30+3=33,如上图,记50名学生组成的集合为U,赞成事件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B.
设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为 +1,赞成A而不赞成B的人数为30－x,赞成B而不赞成A的人数为33－x.依题意(30－x)+(33－x)+x+( +1)=50,解得x=21.所以对A、B都赞成的同学有21人,都不赞成的有8
点评：在集合问题中,有一些常用的方法如数轴法取交并集,韦恩图法等,需要考生切实掌握.本题主要强化学生的这种能力.解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件,想到用韦恩图直观地表示出来.本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂,一时理不清头绪,不好找线索.画出韦恩图,形象地表示出各数量关系间的联系.
例10．求1到200这200个数中既不是2的倍数,又不是3的倍数,也不是5的倍数的自然数共有多少个?
如图先画出Venn图,不难看出不符合条件
的数共有（200÷2）＋（200÷3）＋(200÷5)
－(200÷10)－(200÷6)－(200÷15)
＋(200÷30)＝146
所以,符合条件的数共有200－146＝54（个）
点评：分析200个数分为两类,即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类,而不满足条件的这一类标准明确而简单,可考虑用扣除法.
题型7：集合综合题
例11．（1999上海,17）设集合A={x||x－a|<2},B={x| <1},若A B,求实数a范围.
由|x－a|<2,得a－2由 <1,得 <0,即－2因为A B,所以 ,于是0≤a≤1.
点评：这是一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目.主要考查集合的概念及运算,解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本方法.在解题过程中要注意利用不等式的解集在数轴上的表示方法.体现了数形结合的思想方法.
例12．已知{an}是等差数列,d为公差且不为0,a1和d均为实数,它的前n项和记作Sn,设集合A={(an, )|n∈N*},B={(x,y)| x2－y2=1,x,y∈R}.
试问下列结论是否正确,如果正确,请给予证明；如果不正确,请举例说明：
（1）若以集合A中的元素作为点的坐标,则这些点都在同一条直线上；
（2）A∩B至多有一个元素；（3）当a1≠0时,一定有A∩B≠ .
（1）正确；在等差数列{an}中,Sn= ,则 (a1+an),这表明点(an, )的坐标适合方程y (x+a1),于是点(an, )均在直线y= x+ a1上.
（2）正确；设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组 的解,由方程组消去y得：2a1x+a12=－4(*),
当a1=0时,方程(*)无解,此时A∩B= ；
当a1≠0时,方程(*)只有一个解x= ,此时,方程组也只有一解 ,故上述方程组至多有一解.
∴A∩B至多有一个元素.
（3）不正确；取a1=1,d=1,对一切的x∈N*,有an=a1+(n－1)d=n>0, >0,这时集合A中的元素作为点的坐标,其横、纵坐标均为正,另外,由于a1=1≠0 如果A∩B≠ ,那么据(2)的结论,A∩B中至多有一个元素(x0,y0),而x0= ＜0,y0= ＜0,这样的(x0,y0) A,产生矛盾,故a1=1,d=1时A∩B= ,所以a1≠0时,一定有A∩B≠ 是不正确的.
点评：该题融合了集合、数列、直线方程的知识,属于知识交汇题.
变式题：解答下述问题：
（Ⅰ）设集合 , ,求实数m的取值范围.
分析：关键是准确理解 的具体意义,首先要从数学意义上解释 的意义,然后才能提出解决问题的具体方法.

的取值范围是 UM={m|m<-2}.
（解法三）设 这是开口向上的抛物线, ,则二次函数性质知命题又等价于
注意,在解法三中,f(x)的对称轴的位置起了关键作用,否则解答没有这么简单.
（Ⅱ）已知两个正整数集合A={a1,a2,a3,a4},
、B.
分析：命题中的集合是列举法给出的,只需要根据“交、并”的意义及元素的基本性质解决,注意“正整数”这个条件的运用,
（Ⅲ）
分析：正确理解
要使 ,
由
当k=0时,方程有解 ,不合题意；
当 ①
又由
由 ②,
由①、②得
∵b为自然数,∴b=2,代入①、②得k=1
点评：这是一组关于集合的“交、并”的常规问题,解决这些问题的关键是准确理解问题条件的具体的数学内容,才能由此寻求解决的方法.
五．思维总结
集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言,并用集合语言表达数学问题,运用集合观点去研究和解决数学问题.
1．学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素,熟练运用集合的各种符号,如 、 、 、 、=、 A、∪,∩等等；
2．强化对集合与集合关系题目的训练,理解集合中代表元素的真正意义,注意利用几何直观性研究问题,注意运用Venn图解题方法的训练,加强两种集合表示方法转换和化简训练；解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容（即读懂问题中的集合）以及各个集合之间的关系,常常根据“Venn图”来加深对集合的理解,一个集合能化简（或求解）,一般应考虑先化简（或求解）；
3．确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容,解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法.
① 区别∈与 、 与 、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；
② A B时,A有两种情况：A＝φ与A≠φ.
③若集合A中有n 个元素,则集合A的所有不同的子集个数为 ,所有真子集的个数是 －1, 所有非空真子集的个数是 .
④区分集合中元素的形式：
如 ； ；
； ；
； ；
.
⑤空集是指不含任何元素的集合. 、 和 的区别；0与三者间的关系.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.条件为 ,在讨论的时候不要遗忘了 的情况.
⑥符号“ ”是表示元素与集合之间关系的,立体几何中的体现点与直线（面）的关系 ；符号“ ”是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的体现面与直线(面)的关系.
逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科,是人们认识和研究问题不可缺少的工具,是为了培养学生的推理技能,发展学生的思维能力.

同意2012-9-12 22:40 jsll1984