求所有的正整数n,使得n⁴-4n³+22n²-36n+18是一个完全平方数.还有一个类型题：求所有的正整数n，使得n⁴+6n³+11n²+3n+31是一个完全平方数。

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求所有的正整数n,使得n⁴-4n³+22n²-36n+18是一个完全平方数.
还有一个类型题：
求所有的正整数n，使得n⁴+6n³+11n²+3n+31是一个完全平方数。

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n⁴-4n³+22n²-36n+18
=n²(n²-4n+4)+18n²-36n+18
=n²(n-2)²+18n²-36n+18
=(n²-2n)²+18(n²-2n)+18
=(n²-2n)²+18(n²-2n)+81-63
=[(n²-2n)+9]²-63
=(n²-2n+9)²-63
设上式等于k²,k为正整数,则有
(n²-2n+9)²-63=k²
(n²-2n+9)²-k²=63
(n²-2n+9-k)(n²-2n+9+k)=63=1×3×3×7
显然,(n²-2n+9-k)