x+y>=4,求x^2+y^2+2x+2y的最小值可以用均值不等式求吗?如果不行,为什么呢? 答案是16!

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 00:15:41
x+y>=4,求x^2+y^2+2x+2y的最小值可以用均值不等式求吗?如果不行,为什么呢?答案是16!x+y>=4,求x^2+y^2+2x+2y的最小值可以用均值不等式求吗?如果不行,为什么呢?答案

x+y>=4,求x^2+y^2+2x+2y的最小值可以用均值不等式求吗?如果不行,为什么呢? 答案是16!
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不能用均值不等式,没法用呀.
要用线性规划的方法:
设x^2+y^2+2x+2y=(x+1)^2+(y+1)^2-2=z,则(x+1)^2+(y+1)^2=z+2.
x+y>=4在平面xOy中表示的是直线x+y=4的上方区域.
圆(x+1)^2+(y+1)^2=z+2要与区域x+y>=4有公共点,则半径√(z+2)的最小值为圆心(-1,-1)到直线x+y=4的距离.
点(-1,-1)到直线x+y=4的距离=|-1-1-4|/√2=3√2.
则√(z+2)的最小值为3√2,z的最小值为16.
所以x^2+y^2+2x+2y最小值为16.