设函数f（x）=x^2-2x+1-k^2,对于任意的x∈（0,正无穷）f(x)＞2k-2恒成立,求k取值范围

设函数f（x）=x^2-2x+1-k^2,对于任意的x∈（0,正无穷）f(x)＞2k-2恒成立,求k取值范围
设函数f（x）=x^2-2x+1-k^2,对于任意的x∈（0,正无穷）f(x)＞2k-2恒成立,求k取值范围

设函数f（x）=x^2-2x+1-k^2,对于任意的x∈（0,正无穷）f(x)＞2k-2恒成立,求k取值范围
f(x)＞2k-2恒成立
即f(x)-2k+2＞0恒成立
则x²-2x+1-k²-2k+2＞0恒成立 x∈（0,+无穷）
首先找到二次函数的对称轴-2a分之b=1又函数图像开口向上
可知当x=1时取到最小值
若x∈（0,+无穷）x²-2x+1-k²-2k+2＞0恒成立
只需让这个最小值＞0即可
故将x=1代入,原式得
1-2+1-k²-2k+2= -k²-2k+2令其＞0
k²+2k-2＜0
解,得 - 根号3-1＜k＜根号3-1

x^2-2x+1-k^2-2k+2>0
Δ=4-4(1-k^2-2k+2)=4(1-1+k^2+2k-2)>0
k^2+2k+1>3
k>-1+√3或k<-1-√3

∵x^2-2x+1-k^2＞2k-2
∴(x-1)^2＞k^2+2k-3恒成立（即需求最值）
∴k^2+2k-3≤0
∴-3≤k≤1

-4f(x）=(x-1)^2-k^2为一个开口向上的双曲线
在x∈（0，正无穷）时，f(x）最小值在x=1点
此时f(x）=-k^2
-k^2>2k-2
得出 -1-根号3 < k < -1+根号3