设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)满足条件（1） 当x∈R时,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥x; （2） 当x∈(0,2)时,f(x)≤((x+1)/2)2; （3） f(x)在R上的最小值为0. 求最大的m(m＞1),使得存在t∈R,只要x∈[1,m],就有f(
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 23:19:59
设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)满足条件（1） 当x∈R时,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥x; （2） 当x∈(0,2)时,f(x)≤((x+1)/2)2; （3） f(x)在R上的最小值为0. 求最大的m(m＞1),使得存在t∈R,只要x∈[1,m],就有f(
设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)满足条件
（1） 当x∈R时,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥x;
（2） 当x∈(0,2)时,f(x)≤((x+1)/2)2;
（3） f(x)在R上的最小值为0.
求最大的m(m＞1),使得存在t∈R,只要x∈[1,m],就有f(x+t)≤x.
设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)满足条件（1） 当x∈R时,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥x; （2） 当x∈(0,2)时,f(x)≤((x+1)/2)2; （3） f(x)在R上的最小值为0. 求最大的m(m＞1),使得存在t∈R,只要x∈[1,m],就有f(
因为f(x)在R上的最小值为0
即a＞0,Δ1=0则b²-4ac=0…………. ①
而当x∈R时,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥x;
所以设对称轴X0,则X0=（x-4+2-x)/2=-1
则-b/2a=-1 即b=2a. ②
而f(x)≥x,所以ax²+（b-1）x+c≥0横成立,而a＞0
则Δ2≤0
（b-1）²-4ac≤0
当x∈(0,2)时,f(x)≤((x+1)/2)²;
而f(x)≥x,当x=1时
所以1≤f(1)≤1,则f(1)=1
即a+b+c=1,所以c=1-（a+b）……………………..③
由①②③联立方程组得
a= 1/4 b= 1/2 c=1/4
所以f(x)= 1/4x²+1/2x+1/4
接下来讨论对称轴就可以了
我大致算了一下M最大值可能是5
f(x-4)=f(2-x),∴函数的图象关于x=-1对称，∴-b/2a=-1,b=2a.
由(3)x=-1时，y=0，即a-b+c=0，
由(1)得f(1)≥1，由(2)得f(1)≤1，
∴f(1)=1,即a+b+c=1,又a-b+c=0,∴b=1/2,a=1/4,c=1/4,
∴f(x)=(1/4)x2+(1/2)x+(1/4).
...
全部展开
f(x-4)=f(2-x),∴函数的图象关于x=-1对称，∴-b/2a=-1,b=2a.
由(3)x=-1时，y=0，即a-b+c=0，
由(1)得f(1)≥1，由(2)得f(1)≤1，
∴f(1)=1,即a+b+c=1,又a-b+c=0,∴b=1/2,a=1/4,c=1/4,
∴f(x)=(1/4)x2+(1/2)x+(1/4).
假设存在t∈R，只要x∈[1,m],就有f(x+t)≤x.取x=1有f(t+1)≤1.即((1/4)(t+1))2+((1/2)(t+1))+(1/4)≤1,解得-4≤t≤0.对固定的t∈〔-4,0〕,取x=m，有f(t+m)≤m,即((1/4)(t+m)2)+((1/2)(t+m))+(1/4)≤m,化简有m2-2(1-t)m+
(t2+2t+1)≤0解得1-t-(√-4t)≤1-t+(√(-4t))于是有m≤1-t+√(-4t)≤1-(-4)+ √(-4(-4))=9.当t=-4时，对任意的x∈[1,9]，恒有f(x-4)-x=(1/4)(x2-10x+9)=1/4(x-1)(x-9)≤0.所以m的最大值为9。
收起