已知2x+3y=6,则x的平方+y的平方的最小值?

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 17:39:50
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已知2x+3y=6,则x的平方+y的平方的最小值?

已知2x+3y=6,则x的平方+y的平方的最小值?
已知2x+3y=6,把其看成一条直线,与X轴的交点为（3,0）,与Y轴的交点为（0,2）,且两交点的距离等于√（3²+2²）=√13
设x²+y²=r²,把其看成一个圆心在原点的圆,则当圆x²+y²=r²与直线2x+3y=6相切时,半径最小即xx²+y²的值最小
因为在相切时,直线2x+3y=6与两坐标轴围成的面积=3*2/2=r*√13/2
所以r=6/√13,r²=36/13
x²+y²的最小值为36/13.

x=3-3/2y,x^2=9/4y^2-9y+9,x^2+y^2=13/4y^2-9y+9,当y=9/(13/2)=18/13,x=3-3/2y=12/13时有最小值

最小即原点(0,0)到该直线的距离的平方和；
＝|6|^2/(2^2+3^2)=36/13；


由2x+3y=6，有
x=3-3y/2
从而x²=9y²/4-9y+9
于是，
x²+y²=9y²/4-9y+9+y²=13y²/4-9y+9=13/4(y²-36y/13+324/169)+36/13=13/4(y-18/13)²+36/13
所以，当y=18/13时，x²+y²取得最小值，其最小值为36/13。

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