已知2^x=3^y=5^z,且x,y,z均为正数,则2x,3y,5z的大小关系为
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 20:58:45
已知2^x=3^y=5^z,且x,y,z均为正数,则2x,3y,5z的大小关系为
已知2^x=3^y=5^z,且x,y,z均为正数,则2x,3y,5z的大小关系为
已知2^x=3^y=5^z,且x,y,z均为正数,则2x,3y,5z的大小关系为
2^x=3^y=5^z=a
x,y,z均为正数
所以a>1
lga>0
2^x=3^y=5^z=a
取对数
xlg2=lga
ylg3=lga
zlg5=lga
所以2x=2lga/lg2=lga/(1/2*lg2)
3y=lga/(1/3*lg3)
5z=lga/(1/5*lg5)
看分母
即2^(1/2),3^(1/3),5^(1/5)
[2^(1/2)]^6=2^3=8
[3^(1/3)]^6=3^2=9
[2^(1/2)]^10=2^5=32
[5^(1/5)]^10=5^2=25
所以
3^(1/3)>2^(1/2)>5^(1/5)
所以1/3*lg3>1/2*lg2>1/5*lg5>0
所以0<1/(1/3*lg3)<1/(1/2*lg2)<1/(1/5*lg5)
lga>0
所以3y<2x<5z
2^x=3^y=5^z=k
log2 k=x
log3 k=y
log5 k=z
2x<3y<5Z
lg2^x=lg3^y=lg5^z,
x*lg2=y*lg3=z*lg5,
x=ylg3/lg2，z=y*lg3/lg5,
所以2x=2ylg3/lg2,5z=5y*lg3/lg5,
比较2lg3/lg2、5lg3/lg5与3的大小.
2lg3/lg2=log2(9)与3=log2（8）
显然前者大
所以2x大于3y；
5lg3/lg...
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lg2^x=lg3^y=lg5^z,
x*lg2=y*lg3=z*lg5,
x=ylg3/lg2，z=y*lg3/lg5,
所以2x=2ylg3/lg2,5z=5y*lg3/lg5,
比较2lg3/lg2、5lg3/lg5与3的大小.
2lg3/lg2=log2(9)与3=log2（8）
显然前者大
所以2x大于3y；
5lg3/lg5=log5(3^5)
3=log5(5^3)
再比较3^5和5^3
显然前者大，所以5z大于3y;；
接下来比较2lg3/lg2与5lg3/lg5,
2lg3/lg2=lg3/lg√2,
5lg3/lg5lg3/lg5^(1/5),
比较分数线下的两数，
显然前者大于后者，
所以2lg3/lg2小于5lg3/lg5，
最后5z>2x>3y.
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