请高人帮忙给出圆周率的定义.若要用到长度等概念,请给出长度的定义.总之,概念要,就是一层层追究下去,直到数学最本源的概念.2楼，如果给出曲线长度的积分定义，然后证明圆的周长是黎
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 07:41:22
请高人帮忙给出圆周率的定义.若要用到长度等概念,请给出长度的定义.总之,概念要,就是一层层追究下去,直到数学最本源的概念.2楼，如果给出曲线长度的积分定义，然后证明圆的周长是黎
请高人帮忙给出圆周率的定义.
若要用到长度等概念,请给出长度的定义.
总之,概念要,就是一层层追究下去,直到数学最本源的概念.
2楼，如果给出曲线长度的积分定义，然后证明圆的周长是黎曼可积的，是不是可以用周长的积分除以直径定义pi？
最近在学数学分析，偶尔想到一切的本源竟然是实数系性质的六大等价定理……一切好像都是从那六个等价的定理推出来的
请高人帮忙给出圆周率的定义.若要用到长度等概念,请给出长度的定义.总之,概念要,就是一层层追究下去,直到数学最本源的概念.2楼，如果给出曲线长度的积分定义，然后证明圆的周长是黎
二楼的定义是很多教材中采用的,从表面上看消除了循环定义,实际上这个基本极限的存在性并不是那么容易证明的.不是说不能这样定义,只是要真的消除逻辑上的隐患仍然需要在过程中借助用别的途径,而不是简单地用角度制就能解决的.
一般来讲可以通过级数或者积分来定义pi,举几个例子
1.pi=4*arctan1,arctanx用幂级数x-x^3/3+x^5/5-...来定义.
2.用幂级数定义sinx,然后它的第一个大于0的根定义为pi/2.
3.sqrt(4-x^2)在[0,2]上Riemann可积,可以把这个积分定义为pi,这个相当于用圆面积来定义.类似地也可以用长度对应的定积分来定义.
4.把级数6(1+1/4+1/9+1/16+...)的平方根定义为pi.
这些例子的共同点就是证明了某个极限的存在性,然后把这个量就定义成pi.
pi是超越数,因此pi的定义不能是纯代数的,其过程中必需有极限运算.pi虽然是很重要的量,但不是数学分析中很多推导所必需的基础,所以可以通过一些收敛性的结论来定义这个常数.
单位圆的内接正N边形周长的一半为Nsin(180/N),定义当N趋近于无穷时其极限为圆周率pi，即limNsin(180/N)=pi.这是利用数列极限定义的圆周率，避免了圆周率与圆周长相互循环定义。
那你得去看《几何原本》。