已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,连接它的四个顶点得到的四边形的面积是4根号2,分别连接椭圆上的一点p(顶点除外)和椭圆的四个顶点,连得线段所在四条直线的斜率的乘积为1/4,求这个

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 02:11:45
已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,连接它的四个顶点得到的四边形的面积是4根号2,分别连接椭圆上的一点p(顶点除外)和椭圆的四个顶点,连得线段所在四条直线的斜率的乘积为1/4,求这个已知椭圆的中心在原

已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,连接它的四个顶点得到的四边形的面积是4根号2,分别连接椭圆上的一点p(顶点除外)和椭圆的四个顶点,连得线段所在四条直线的斜率的乘积为1/4,求这个
已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,连接它的四个顶点得到的四边形的面积是4根号2,分别连接椭圆上的一点p(顶点除外)和椭圆的四个顶点,连得线段所在四条直线的斜率的乘积为1/4,求这个椭圆的标准方程.过程尽量具体,

已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,连接它的四个顶点得到的四边形的面积是4根号2,分别连接椭圆上的一点p(顶点除外)和椭圆的四个顶点,连得线段所在四条直线的斜率的乘积为1/4,求这个
设这个椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1
则四个顶点为(0,b)(0,-b)(a,0)(-a,0)
所以四个顶点所组成四边形的面积为2ab=4根号2,ab=2根号2
因为椭圆上任一点到四点的斜率积都相同,所以取椭圆上一点(a/2,b根号3/2)就行了.
则这点到四个顶点的斜率分别为(根号3b/a)(根号3b/3a)((2+根号3)b/a)((2-根号3)b/a)
积为b^4/a^4=1/4
所以b^2/a^2=1/2
因为ab=2根号2
解得a^2=4,b^2=2
所以标准方程为x^2/4+y^2/2=1

对不起,太烦,太难,太……

因为面积等于4根2
所以4ab=4根2,即ab=2根2..........*
设p(x,y),椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1.......**
则有:斜率k1=(y-b)/x
k2=y/(x-a)
k3=(y+b)/x
k4=y/(x+a)
所以k1k2k3k4=1/4....

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因为面积等于4根2
所以4ab=4根2,即ab=2根2..........*
设p(x,y),椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1.......**
则有:斜率k1=(y-b)/x
k2=y/(x-a)
k3=(y+b)/x
k4=y/(x+a)
所以k1k2k3k4=1/4.........***
代入,整理。
由**可得:y^2-b^2=b^2x^2/a^2
所以标准方程为x^2/4+y^2/2=1
x^2-a^2=a^2y^2/b^2
代入***,再与*联立,解得a=2,b=根2

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