数学难题：若a是非零自然数,n是质数且与a互质,则a^(n-1)-1定能被n整除,试证之.在算术辞典(解题中心)第1749题：与完全数a互质之质数p得整除a^(P-1)-1。其证法简单明了，我的印象其证法没有一楼
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 15:40:56
数学难题：若a是非零自然数,n是质数且与a互质,则a^(n-1)-1定能被n整除,试证之.在算术辞典(解题中心)第1749题：与完全数a互质之质数p得整除a^(P-1)-1。其证法简单明了，我的印象其证法没有一楼
数学难题：若a是非零自然数,n是质数且与a互质,则a^(n-1)-1定能被n整除,试证之.
在算术辞典(解题中心)第1749题：与完全数a互质之质数p得整除a^(P-1)-1。其证法简单明了，我的印象其证法没有一楼那样复杂，只可惜这本算术辞典的前面一百六十多页缺失了！
数学难题：若a是非零自然数,n是质数且与a互质,则a^(n-1)-1定能被n整除,试证之.在算术辞典(解题中心)第1749题：与完全数a互质之质数p得整除a^(P-1)-1。其证法简单明了，我的印象其证法没有一楼
费马小定理是数论中的一个重要定理,其内容为：假如p是质数,且(a,p)=1,那么 a^(p-1) ≡1（mod p） 假如p是质数,且a,p互质,那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1
证明
一、准备知识： 引理1．剩余系定理2 若a,b,c为任意3个整数,m为正整数,且（m,c)=1,则当ac≡bc(mod m）时,有a≡b(mod m) 证明：ac≡bc(mod m）可得ac–bc≡0(mod m）可得（a-b)c≡0(mod m）因为（m,c)=1即m,c互质,c可以约去,a–b≡0(mod m）可得a≡b(mod m) 引理2．剩余系定理5 若m为整数且m>1,a[1],a[2],a[3],a[4],…a[m]为m个整数,若在这m个数中任取2个整数对m不同余,则这m个整数对m构成完全剩余系. 证明：构造m的完全剩余系（0,1,2,…m-1）,所有的整数必然这些整数中的1个对模m同余.取r[1]=0,r[2]=1,r[3]=2,r[4]=3,…r=i-1,1
这个是定理来着，找本书看一下欧拉定理证明过程（fermat-euler定理）。
为了习惯令p=n表示素数
A组取a 2a 3a ...........(p-1)a，它们两两不同余
B组取1 2 3 ..............(p-1)，它们两两不同余，
所以A组 B组都是P的既约同余系
A组相乘得a^(p-1)*(p-1)!
B组相乘得 ...
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这个是定理来着，找本书看一下欧拉定理证明过程（fermat-euler定理）。
为了习惯令p=n表示素数
A组取a 2a 3a ...........(p-1)a，它们两两不同余
B组取1 2 3 ..............(p-1)，它们两两不同余，
所以A组 B组都是P的既约同余系
A组相乘得a^(p-1)*(p-1)!
B组相乘得 （p-1)!
二者对模P必同余，因此a^(p-1)同余1（否则设a^(p-1)同余1
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二者对模P必同余，因此a^(p-1)同余1（否则设a^(p-1)同余1