设点p在椭圆x平方/4+y平方=1上,求p到直线x-2y+3根号2=0的距离最大值和最小值

设点p在椭圆x平方/4+y平方=1上,求p到直线x-2y+3根号2=0的距离最大值和最小值
设点p在椭圆x平方/4+y平方=1上,求p到直线x-2y+3根号2=0的距离最大值和最小值

设点p在椭圆x平方/4+y平方=1上,求p到直线x-2y+3根号2=0的距离最大值和最小值
∵点P在椭圆x²/4+y²=1上,设P(2cosθ,sinθ),
则点P到直线x-2y+3√2=0的距离d=|2cosθ-2sinθ+3√2|/√5=|2√2cos(θ+π/4)+3√2|/√5,
当θ+π/4=2kπ,即当θ=-π/4+2kπ,k∈Z时,cos(θ+π/4)=1,d有最大值=5√2/√5=√10,
当θ+π/4=π+2kπ,即当θ=3π/4+2kπ,k∈Z时,cos(θ+π/4)=-1,d有最小值=√2/√5=√10/5.

设直线x-2y+m=0与椭圆相切；则切点P到直线x-2y+3根号2=0的距离最大值与最小值x=2y-m带入椭圆方程消去y得：8y²-4my+m²-4=0
相切则∨=(-4m)²-4×8(m²-4)=0; m=±2√2
m=2√2时，P点到直线x-2y+3根号2=0的距离最小，最小值=|3√2-2√2|/√5=√10/5;
m=-2...

全部展开

设直线x-2y+m=0与椭圆相切；则切点P到直线x-2y+3根号2=0的距离最大值与最小值x=2y-m带入椭圆方程消去y得：8y²-4my+m²-4=0
相切则∨=(-4m)²-4×8(m²-4)=0; m=±2√2
m=2√2时，P点到直线x-2y+3根号2=0的距离最小，最小值=|3√2-2√2|/√5=√10/5;
m=-2√2时，P点到直线x-2y+3根号2=0的距离最大，最大值=|3√2+2√2|/√5=√10

收起

（1）圆C的方程可化为（x+1）2+（y-2）2=2，
即圆心的坐标为（-1，2），半径为
2
，
因为直线l在两坐标轴上的截距相等且不经过坐标原点，
所以可设直线l的方程为 x+y+m=0，
于是有
|-1+2+m|
1+1
=
2
，得m=1或m=-3，
因此直线...

全部展开

（1）圆C的方程可化为（x+1）2+（y-2）2=2，
即圆心的坐标为（-1，2），半径为
2
，
因为直线l在两坐标轴上的截距相等且不经过坐标原点，
所以可设直线l的方程为 x+y+m=0，
于是有
|-1+2+m|
1+1
=
2
，得m=1或m=-3，
因此直线l的方程为x+y+1=0或x+y-3=0；
（2）因为圆心（-1，2）到直线x-y-5=0的距离为
|-1-2-5|
1+1
=4
2
，
所以点P到直线x-y-5=0距离的最大值与最小值依次分别为5
2
和3
2 ．

收起