2012北京门头沟一模数学12题解题思路如图,对面积为1的△ABC逐次进行以下操作:第一次操作,分别延长AB、BC、CA至A1、B1、C1,使得A1B=2AB,B1C=2BC,C1A=2CA,顺次连接A1、

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2012北京门头沟一模数学12题解题思路如图,对面积为1的△ABC逐次进行以下操作:第一次操作,分别延长AB、BC、CA至A1、B1、C1,使得A1B=2AB,B1C=2BC,C1A=2CA,顺次连接

2012北京门头沟一模数学12题解题思路如图,对面积为1的△ABC逐次进行以下操作:第一次操作,分别延长AB、BC、CA至A1、B1、C1,使得A1B=2AB,B1C=2BC,C1A=2CA,顺次连接A1、
2012北京门头沟一模数学12题解题思路
如图,对面积为1的△ABC逐次进行以下操作:
第一次操作,分别延长AB、BC、CA至A1、B1、C1,
使得A1B=2AB,B1C=2BC,C1A=2CA,顺次连接A1、

 
 
 
 
 
   
   
   
     
     
     
 

     
     
   
   

   
 
 
 
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
 
 
 
 
 
 B1、C1,得到△A1B1C1,记其面积为S1;第二次操作,
分别延长A1B1,B1C1,C1A1至A2,B2,C2,使得
A2B1=2A1B1,B2C1=2B1C1,C2A1=2C1A1,顺次连接
A2,B2,C2,得到△A2B2C2,记其面积为S2……,
按此规律继续下去,可得到△A5B5C5,则其面积为
S5=_________. 第n次操作得到△AnBnCn,
则△AnBnCn的面积Sn=             .

解题思路.

2012北京门头沟一模数学12题解题思路如图,对面积为1的△ABC逐次进行以下操作:第一次操作,分别延长AB、BC、CA至A1、B1、C1,使得A1B=2AB,B1C=2BC,C1A=2CA,顺次连接A1、
根据高的比等于面积比推理出△A1B1C的面积是△A1BC面积的2倍,则△A1B1B的面积是△A1BC面积的3倍…,以此类推,得出△A2B2C2的面积.
连接A1C,根据A1B=2AB,得到:AB:A1A=1:3,
因而若过点B,A1作△ABC与△AA1C的AC边上的高,则高线的比是1:3,
因而面积的比是1:3,则△A1BC的面积是△ABC的面积的2倍,
设△ABC的面积是a,则△A1BC的面积是2a,
同理可以得到△A1B1C的面积是△A1BC面积的2倍,是4a,
则△A1B1B的面积是6a,
同理△B1C1C和△A1C1A的面积都是6a,
△A1B1C1的面积是19a,
即△A1B1C1的面积是△ABC的面积的19倍,
同理△A2B2C2的面积是△A1B1C1的面积的19倍,
即△A1B1C1的面积是19,△A2B2C2的面积192,
依此类推,△A5B5C5的面积是S5=195=2476099.
点评:正确判断相邻的两个三角形面积之间的关系是解决本题的关键,本题的难度较大.