二重积分可以计算面积吗?它不是计算体积的吗?一楼的啊 我还是个初学者 让我费解了半天 希望你以后不要在误人子弟了 3楼的 麻烦问一下是不是积分限为1的时候就是面积呢

二重积分可以计算面积吗?它不是计算体积的吗?一楼的啊 我还是个初学者 让我费解了半天 希望你以后不要在误人子弟了 3楼的 麻烦问一下是不是积分限为1的时候就是面积呢
二重积分可以计算面积吗?它不是计算体积的吗?
一楼的啊 我还是个初学者 让我费解了半天 希望你以后不要在误人子弟了
3楼的 麻烦问一下是不是积分限为1的时候就是面积呢

二重积分可以计算面积吗?它不是计算体积的吗?一楼的啊 我还是个初学者 让我费解了半天 希望你以后不要在误人子弟了 3楼的 麻烦问一下是不是积分限为1的时候就是面积呢
一楼的说法不对!
一重积分,可以计算长度,可以计算面积,也可以计算体积(最典型的是旋转体的体积)；
二重积分,可以计算面积,也可以计算体积.
三重积分,可以计算体积.
具体如何,一看被积函数,二看积分限怎么确定.
方法是活的,关键在于如何运用.

二重积分也可以计算体积的

二重积分就是计算面积的 不是计算体积的
三重积分是计算体积的

一楼《angel说爱我》应该是初学者，还没有搞懂积分是怎么回事。
二楼《nbsuns》的说法，可以接受。
三楼《康伯伟》说的太棒了！
鉴定完毕！

§9.3 二重积分的应用
定积分应用的元素法也可推广到二重积分,使用该方法需满足以下条件：
1、所要计算的某个量 对于闭区域 具有可加性(即:当闭区域 分成许多小闭区域 时, 所求量 相应地分成许多部分量 ,且 )。
2、在 内任取一个直径充分小的小闭区域 时, 相应的部分量 可近似地表示为 , 其中 , 称 为所求量 的元素, 并记作 。
(注: 的选择标准为:...

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§9.3 二重积分的应用
定积分应用的元素法也可推广到二重积分,使用该方法需满足以下条件：
1、所要计算的某个量 对于闭区域 具有可加性(即:当闭区域 分成许多小闭区域 时, 所求量 相应地分成许多部分量 ,且 )。
2、在 内任取一个直径充分小的小闭区域 时, 相应的部分量 可近似地表示为 , 其中 , 称 为所求量 的元素, 并记作 。
(注: 的选择标准为: 是 直径趋于零时较 更高阶的无穷小量)
3、所求量 可表示成积分形式
一、曲面的面积
设曲面 由方程 给出, 为曲面 在 面上的投影区域,函数 在 上具有连续偏导数 和 ,现计算曲面的面积 。
在闭区域 上任取一直径很小的闭区域 (它的面积也记作 ),在 内取一点 ,对应着曲面 上一点 ,曲面 在点 处的切平面设为 。 以小区域 的边界为准线作母线平行于 轴的柱面, 该柱面在曲面 上截下一小片曲面,在切平面 上截下一小片平面,由于 的直径很小,那一小片平面面积近似地等于那一小片曲面面积。
曲面 在点 处的法线向量( 指向朝上的那个 )为
它与 轴正向所成夹角 的方向余弦为
而
所以
这就是曲面 的面积元素, 故
故
【例1】求球面 含在柱面 ( ) 内部的面积。
解:所求曲面在 面的投影区域
曲面方程应取为 , 则
,
曲面在 面上的投影区域 为
据曲面的对称性,有
若曲面的方程为 或 ,可分别将曲面投影到 面或 面,设所得到的投影区域分别为 或 ,类似地有
或
二、平面薄片的重心
1、平面上的质点系的重心
其质点系的重心坐标为
,
2、平面薄片的重心
设有一平面薄片,占有 面上的闭区域 ,在点 处的面密度为 ,假定 在 上连续,如何确定该薄片的重心坐标 。
这就是力矩元素,于是
又平面薄片的总质量
从而,薄片的重心坐标为
特别地,如果薄片是均匀的,即面密度为常量,则
十分显然, 这时薄片的重心完全由闭区域的形状所决定, 因此, 习惯上将均匀薄片的重心称之为该平面薄片所占平面图形的形心。
【例2】设薄片所占的闭区域 为介于两个圆 ,
( )之间的闭区域,且面密度均匀,求此均匀薄片的重心(形心)。
解: 由 的对称性可知:
而
故
三、平面薄片的转动惯量
1、平面质点系对坐标轴的转动惯量
设平面上有 个质点, 它们分别位于点 处, 质量分别为 。
设质点系对于 轴以及对于 轴的转动惯量依次为
2、平面薄片对于坐标轴的转动惯量
设有一薄片,占有 面上的闭区域 ,在点 处的面密度为 , 假定 在 上连续。 现要求该薄片对于 轴、 轴的转动惯量 , 。
与平面薄片对坐标轴的力矩相类似,转动惯量元素为
【例3】求由抛物线 及直线 所围成的均匀薄片(面密度为常数 )对于直线 的转动惯量。
解: 转动惯量元素为
四、平面薄片对质点的引力
设有一平面薄片,占有 面上的闭区域 ,在点 处的面密度为 ,假定 在 上连续,现计算该薄片对位于 轴上点 处的单位质量质点的引力。
于是,薄片对质点的引力 在三个坐标轴上的分力 的力元素为
故

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