一道奥数题 看晕了30名选手参加一次数学奥林匹克,共有8道题目.若有N名选手没有解出某题,就规定此题分值为N.假设对任一道题,每位选手要么得0分,要么得满分.规定一个答对不少于5道题的参
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/09 02:55:27
一道奥数题 看晕了30名选手参加一次数学奥林匹克,共有8道题目.若有N名选手没有解出某题,就规定此题分值为N.假设对任一道题,每位选手要么得0分,要么得满分.规定一个答对不少于5道题的参
一道奥数题 看晕了
30名选手参加一次数学奥林匹克,共有8道题目.若有N名选手没有解出某题,就规定此题分值为N.假设对任一道题,每位选手要么得0分,要么得满分.规定一个答对不少于5道题的参赛选手为高手.如果有一道题答对的高手不到总高手数的一半,就称此题为难题.则难题最多能有几道?此时高手最少为几人?
一道奥数题 看晕了30名选手参加一次数学奥林匹克,共有8道题目.若有N名选手没有解出某题,就规定此题分值为N.假设对任一道题,每位选手要么得0分,要么得满分.规定一个答对不少于5道题的参
简单分析：
开始可以假定难题有1,2,3,4道,很容易推出肯定符合要求(最简单的,假定都是高手,各只有1个人会做难题).这说明,难题很可能不只4个.
这时,假设难题最多有x道,非难题为8-x道,高手最少有y人.
必须明确四点：
a、非难题高手都会做,只有这样,才更有可能使难题不被更多的人做出,并满足答对至少5道题的要求.
b、y肯定是奇数,这很容易理解,因为偶数与小于该数的最大奇数,两数的不到一半的值是相同的.
c、高手都只会做5道题,也只有这样,才更有可能使难题不被更多的人做出.
d、答对难题的人数最多,也即(y-1)/2,这也容易理解,资源利用最大化.
由此,列出等式：
5*y=y*(8-x)+x*(y-1)/2,化简得x=6*y/(y+1),显然x=y=5.
事实上,不论难题有几道,总题数都肯定大于等于5Y,所以,上述等式中,等号可以换成小于等于号,这样,就会发现,x≤5,y≥5.（但当x=5时,y好像只能取5的倍数.）
因此,难题最多有5道,此时高手最少为5人.
假设都是高手,那么至少要做对30*5=150题
那么难题最多有30/2-1=14人做对
设难题X题.
14X+30*(8-X)=150
...
X=5.625
也就是难题5道,高手30人.
再设每道难题有X人做对,那么高手就有2X+1人
5X+(8-5)*(2X+1)=(2X+1)*5
....
X=2
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假设都是高手,那么至少要做对30*5=150题
那么难题最多有30/2-1=14人做对
设难题X题.
14X+30*(8-X)=150
...
X=5.625
也就是难题5道,高手30人.
再设每道难题有X人做对,那么高手就有2X+1人
5X+(8-5)*(2X+1)=(2X+1)*5
....
X=2
2X+1=5人
最后得出难题5道,高手5人.
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